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引自《实分析和概率论》P4-P5
更一般地,令l是任意一个集合, 设A是定义在I上的函数,其值是集合\(A_{i }\):=A(i) , 那么所有这些集合\(A_{i }\)的并集写为
\(\bigcup_i^{ }A_i:=\bigcup_{i=I}^{ }A_i:=\left\{ x:对某些i{,}x\in A_i\right\}\)
在这种情况下, 集合I称为指标集( index set) , 这意味着I是函数i |-->\(A_{i}\) 的定义域 . 如果从上下文可以清楚地看出I是什么,就像上面的第一个表示式那样, 指标集在记号中可以被省略 . 同样地, 交集可以写为
\(\bigcup_i^{ }A_i:=\bigcap_{i=I}^{ }A_i:=\left\{ x:对所有的i\in I{,}x\in A\right\}\)
这里的 I 通常是一个非空集合 . 但当这些集合是所讨论的某一 固定集合(比如说X)的一切子集时,就出现例外.假定 t\(\notin\)l并且令\(A_{t}\):= X, 如果I是 非空集合,那 么用 I U {t}代替 I 不会改变\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) 在I 是空集的情况下,我们可以令\(\bigcap_{i\in\varnothing}^{ }A_i=X\)
上述内容有几点问题:
1、红字“这些集合”是指“I” 还是指\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) ?
2、如果是指\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) ,那么后面说“但当这些集合是所讨论…………如果I是 非空集合” --------怎么会用\(A_{t }\) 来定义X呢?\(A_{t }\) 不是\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) 的补集么? 如果X成为\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) 的补集,那么这难道不是与“ 但当这些集合是所讨论的某一 固定集合(比如说X)的一切子集时”矛盾么?
3“那 么用 I U {t}代替 I 不会改变\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\)”--------这句也觉得有些矛盾,怎么会“不改变”呢?应该是“改变”吧,I是非空集合,用 I U {t} 代替I 怎么会不改变\(\bigcap_{i=I}^{ }A_i\) 呢?
下面是英文原文供参考:
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