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证明一个组合求和公式:∑(k=0,min(m,n))(-1)^k C(m,k) C(m+n-k,m)=1

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发表于 2022-9-16 13:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
求证:∑(k=0,n) (-1)^k*C(m,k)*C(m+n-k,m)=1  ,  m≥n

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发表于 2022-9-18 12:39 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2022-9-18 15:01 | 显示全部楼层
感谢陆老师的细心解答!
m,n,k同上,数列a(k)=C(m,k)C(m+n-k,m)中有且只有1项为奇数?
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 楼主| 发表于 2022-9-19 14:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 0-1110 于 2022-9-19 21:38 编辑

3楼的问题,可表述为如下猜想

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 楼主| 发表于 2022-9-19 15:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 0-1110 于 2022-9-19 17:28 编辑

累!我在excel试了下,m,n在50内好象是成立的
方法:Σ[(m+n-k)/2^i]=Σ[(m-k)/2^j]+Σ[(n-k)/2^r]+Σ[k/2^s]
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 楼主| 发表于 2022-9-20 19:52 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2022-9-20 19:52 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2022-9-20 19:52 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2022-9-23 11:27 | 显示全部楼层
之所以将上面三个表放在此,是为了体现它们间的关联性:
若将一楼恒等式左边式子也做一个表,整个表将都是“1”,其规则是:“首项为1,下一格为其左上方相连数之和与对顶数之差”.
“杨辉三角”那个公式也可以乘以这个式子,其值不变,这就体现了四个表间的关联性,也许有点牵强了.
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 楼主| 发表于 2022-9-23 11:28 | 显示全部楼层
从1楼恒等式可以确定:数列a(k)中至少有一项是奇数,且是奇数的项数必为奇数个.

定义:G(k)是前k个正整数的素数分解中2的总数.
有几个公式:
G(2^a)=2^a-1
G(k)=[k/2]+G([k/2])
G(2k)=k+G(k)
G(k*2^a)=k(2^a-1)+G(k)
这几个公式容易理解,但对4楼的“猜想”似乎无能为力.
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