中国古代数学传统的哲学追踪

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中国古代数学传统的哲学追踪



作者 | 陈克胜

来源 | 科学人文在线，原文摘编自《学科体系中的数学文化》（陈克胜 编著）第二章第二节，标题和内容有调整。

中国古代传统数学源于生活，注重实际应用，由此形成算法具有程序性、算理蕴含于算法等特点，这些都与当时中国古代哲学思潮的影响有很大的关系，特别是受到中国古代自然观的影响。中国古代自然观不仅影响中国古代数学家的行为规范、思维方式，而且也影响他们的科学思想和方法。

中国古代自然观的基本思想是：整个宇宙是一个有机系统，由此主张天人合一、天人相应，强调探究天道与人道、自然和人的关系，这样形成了以“气”说明宇宙万物的基本构成，以“阴阳”说明物质内部的对立统一，以“五行”表示万物的分类属性，它们构成了一种相互作用、相互依赖、相互制约的模拟系统。

为了说明中国古代数学传统的哲学追踪，下面主要讨论中国古代传统数学的三个高峰与当时的中国古代哲学的关系。

两汉时期

两汉时期，中国古代传统数学最显著的特征是：强调实用性，由此确定“类”的思想；以计算为中心，由此确定算法；算理蕴含于算法，而没有现今意义的数学证明。这些特征可以从中国古代哲学中找到其理论依据。

1. 实用性

中国古代将自然科学看作是社会生活的一种附属、辅助之物，仅仅为社会伦理教化服务，用于解决社会实际问题，为社会秩序提供证据，而不去探索自然界的内在规律，体现了天人合一的原初思想。

数学是作为一种社会生活工具，其社会地位也不高。例如，儒家思想长期在古代中国占据核心和主导的地位，具有代表性。儒家认为，人们应该学习“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”。从中可以发现：数学作为“六艺”之一，与赶马车、射箭等技艺为同类，并且排在最末位，主要为其他服务。纵观中国古代历史，中国历朝历代都是将数学列在“六艺”最末的地位。即使隋唐时期以后，数学被列入国子学，在国子监设立“数学科”，但它也只能培养品级很低的下级官吏。因此，在这种思想的影响下，在古代中国，数学仅仅是服务于社会秩序、礼制的合理性，服务于治国安邦、平天下，数学家的社会地位不高。正是在这种思想的主导下，中国古代著名的数学家刘徽曾指出：礼是社会的核心，数学又和“礼”相联系，而不是去揭示自然奥秘的钥匙。

总之，以《九章算术》为代表的中国古代传统数学的基本特征是以某些典型的数学实例为问题，然后给出答案，必要时给出“术”，这些都是旨在谋求解决社会管理中出现的某类实用问题。

2. “类”的思想

中国古代传统文化本身含有“类”的概念，其中中国古代自然观的“五行说”明显地体现了“类”的思想，也就是以日常生活的金、木、水、火、土五种物质元素，作为构成宇宙万物及各种自然现象变化的基础。归结起来，中国古代哲学关于“类”的概念的含义：“类”是事物之间异同关系的概括，而“类别”“类同”或“不类”是其主要内涵，有两层含义：第一层是指相似、相异等，认为相同是类，相异也是类；第二层是作为行为动词，如类推、类比等。

墨家作为诸子百家之一，是中国古代的一个哲学学派，其学说在中国古代社会产生了重要的影响，尤其是中国古代数学。墨家学说的哲学代表著作《墨经》曾提出了关于“类”的观点，从名、辞、说的基本结构出发建立了一套逻辑规则。所谓“名”，当“名”与“实”相对应时，意思是名称或语词；当“名”与“辞”“说”相对应时，含有类似词句的意义。荀子认为，“辞”是联结不同的“名”来表达完整的意义的语句，“说”就是辩说。《墨经》首先指出“名”的类，它把概念分为三大类，《经上》说：“名：达、类、私”，“达”是最大范畴的名，“类”指某一类事物的“名”，“私”指个别的具体事物的“名”，这说明《墨经》非常清楚地把概念区分为种属关系；然后以“类”为基础而“推”，意思是从已知到未知的思维过程。

但是，中国古代哲学中的“推类”不等同于西方传统逻辑的类比推理。所谓的类比推理是单向性，从个别到个别、从特殊到特殊，依据的只是事实、同类，而“推类”具有多维和多向的含义，是一种事物现象按照另一种事物来理解的综合思维过程，既有非理性的比附、同构，更有理性的因果分析、演绎论证，在数学方面表现为算理蕴含于算法中，而没有数学证明。

因此，《九章算术》等著作中的“术”反映了当时数学受到墨家逻辑的影响或接受了墨家逻辑的观点与方法，形成了中国古代初步的逻辑思路—“推以合类”。

魏晋南北朝时期

魏晋南北朝时期的哲学主要围绕着有无、名教与自然、言意和形神四个问题展开，形成了所谓的魏晋玄学，其中方法论的特点是采用思辨方法，以本末体用为基本范畴进行理论上的论证。

魏晋玄学对当时中国数学家产生了重要的影响，他们继承和发展了《九章算术》为代表的中国古代数学传统，表现为：后来的数学家不断地对《九章算术》进行注释和论证，进一步发展了“推类”思想。这种思想集中地反映在赵爽的《周髀算经注》，刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》（作者不详），夏侯阳的《夏侯阳算经》，张丘建的《张丘建算经》、甄鸾的《五曹算经》和《五经算术》，祖冲之和祖暅的《缀术》。

魏晋时期，中国古代数学在理论上有了较大发展。其中，赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽的《周髀算经注》被认为在中国古代对数学定理和公式最早进行证明；刘徽的《九章算术注》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述过程中多有创新，特别是他所撰写的《海岛算经》，应用“重差术”解决有关测量的问题。为了便于说明，下面以刘徽为例。

刘徽的《九章算术注》奠定了中国古代传统数学自身逻辑思路的基本框架，也就是以“名”“辞”“理”“类”为基本的数学推理成分，以“推”“类”为主导推理范式，不仅对“名”“辞”“理”有深刻的论述与应用，而且对“推”与“类”更有直接而深入的分析与应用。

刘徽使用了大量的“推”字，这与墨家逻辑相一致。例如，关于圆周率，他认为圆周率的用途非常广泛。因此，他严格按图来证明、推算出更加精密的圆周率，生怕后人怀疑他所设置的新的圆周率有问题。

刘徽运用“类”的思想，其含义是种类（类别）、分类、类推、相同、有同、类同等。刘徽将墨家逻辑中“类”的思想运用到关于事物的认识，认为“类”首先是事物之间的异同关系的概括，但主要指“类别”“类同”或“不类”。

刘徽在“方以类聚，物以群分”的数学分类指导下，对数学概念进行分类。例如，刘徽把数分为整数与分数，进而按照不同的分类单位又对分数进行分类。又如，刘徽把数分为正数和负数两类。再如，刘徽把图形分为直线形和曲线形两类，把全等的圆形看成一类，不全等的圆形看成另一类。

总之，以刘徽为代表的逻辑思想和墨家的逻辑思想有直接的联系，吸收魏晋思辨，在许多方面超过了墨家，可以说刘徽的数学思想是在继承墨家的逻辑思想的基础上有新的发展，创建了中国古代传统数学理论体系。

宋元时期

宋元时期，中国古代哲学发展进入了一个综合的时期，是儒、释和道相融合的理学时期。此时的中国古代哲学发展有两个明显的特点：一是以儒为主，吸收佛、道思想理论而形成其思想体系，另一个是理学和经学紧密结合，通过注释、解说、议论、引用经书的形式表现。其中，辩证逻辑又有了进一步的比较大的发展，代表人物主要有沈括、张载、周敦颐等。

受中国古代哲学的影响，特别是辩证逻辑思想的影响，中国古代传统数学不仅在数学思想与数学理论上有重大的突破，而且在数学方法和数学思维上也有重要创新，表现为：在继承中国古代传统数学的“推”“类”思维模式的基础上，开始向更具有演绎性的程序思维模式或机器思维模式转型。其中，秦九韶的工作是当时最杰出的代表。

秦九韶对“类”概念有着广泛的使用。秦九韶在《数书九章》中，较多地使用“类”概念，其基本含义有三种：一是“类别”“类型”；二是“分类”“归类”；三是“类推”或以“类”为“推”。这成为他进行数学演绎与归纳的最基本的思维形式。其中的原因主要是：一是深受前辈及其数学经典（尤其是刘徽及其《九章算术注》）的影响，二是中国古代逻辑中“类”与“推”的传统哲学、文化影响。

秦九韶对“推”进行了广泛的应用。《数书九章》中多次使用“推”，其基本含义是“推导”“推出”，同时也蕴含着墨家关于“推”的逻辑思想，即由“所然”进到“未然”的过程。

秦九韶实现了“推”“类”方法的程序化。秦九韶的《数书九章》中的“序”，明确指出了他关于他的数学体系建构的深刻思考，对其数学论证方法与技术的使用进行了详尽考察和缜密选择，其宗旨是“归类”“推”与“类”。同时，秦九韶认为，数学是“六艺”之一，历来为学者官员所重视，为求认识世界的规律而生数学；而数学有广泛用途，大可以用于认识自然、理解人生，小则可以经营事务、分类万物。

总之，宋元时期以秦九韶为代表的逻辑思路直接继承了刘徽的思想，并且受“推”“类”思维模式的影响发展了更具演绎性的程序思维模式。



《学科体系中的数学文化》

作者：陈克胜

出版社：科学出版社

出版时间：2022-09

内容简介：本书是在 2006 年出版的《数学文化概论》的基础上形成的，吸收了关于数学文化的最新研究成果，扩充了各学科与数学关系的内涵。进一步地说，本书在多年的教学实践基础上，对原有的《数学文化概论》进行了适当的扩充，以各学科与数学之间的关系为主线，强调数学在学科体系中的基础地位，阐述了数学在哲学、自然科学、文学、经济学、教育学、音乐、绘画、法律等学科中的应用、辩证关系和发展趋势，丰富了数学文化学研究。本书旨在满足大众关于数学在各学科中运用的好奇心和兴趣，丰富高校数学文化课程建设的内容，提升大众的数学素养。

本书适合对数学感兴趣的读者，也适合相关专业的研究生、科技工作者和教育工作者等。