关于期望的线性性质的运用是否有前提条件？

wufaxian

期望的线性线性性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)   。关于这件事情的证明我的书上给出如下思路。X，Y作为随机变量，实际上是同一样本空间S到实数轴的一个函数映射。因此存在如下关系
E(X)+E(Y)=\(\sum_s^{ }X\left( s\right)P\left( s\right)+\sum_s^{ }Y\left( s\right)P\left( s\right)=\sum_s^{ }\left( X+Y\right)\left( s\right)P\left( s\right)=E\left( X+Y\right)\)

也就是说无论你从样本空间到实数轴是多对一的映射，还是一对一的映射。我都以样本空间的每一个样本s的概率为纽带。来计算随机变量的均值。例如下表。
连续两次投掷四面体骰子。随机变量X取两次投掷的最大值。随机变量Y代表：第二次结果*8-第一次结果。可以看出样本空间到MAX这一列是存在多对一。一共有7个4。但是我们不去考虑4对应的概率是7/36。我们考虑4后面的每个样本结果的概率P(s)=1/36。以第四行为例\(\frac{1}{36}\cdot4+\frac{1}{36}\cdot31=\frac{1}{36}\left( 35\right)\)
由此很容易理解命题是成立的！


但是我在另外一本书中看到对E(X+Y)=E(X)+E(Y)  的性质运用并没有以同一样本空间为前提条件。如果随机变量X，Y不是同一样本空间。这个期望值的线性性质还成立么？

比如随机变量X还是连续两次投掷四面体骰子。取两次投掷的最大值。
       随机变量Y是从一个箱子内有放回的取小球（每次取1只），箱子内共有"赤橙黄绿青蓝紫" 七种颜色的球。分别对应实数轴上1-7的数值。
随机变量X和Y对应的样本空间都不一样了。那么E(X+Y)=E(X)+E(Y)  还成立么？纽带不存在了。
还有一个问题。就是此时随机变量的函数 X+Y还有意义么？

wufaxian

我理解的对么？

simpley

wufaxian 发表于 2024-4-10 15:30
我理解的对么？

前提是函数 X+Y有意义