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【趣题分享】解方程 x^x=4^(x+16) ,求 x 的正实数解

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发表于 2022-8-12 02:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
题: 解方程 \(x^x=4^{x+16}\).

发表于 2022-8-12 10:50 | 显示全部楼层
  解方程 x^x = 4^(x+16) ,求 x 的正实数解。

  对方程两边同时取对数,得

           x lnx = (x+16)ln4 ,x lnx/ln4 = x+16 ,x(lnx/ln4-1) = 16 。

    如果 0<x<16 ,则 x(lnx/ln4-1)<16×(ln16/ln4-1) = 16 ,这时不可能有解。

    如果 x>16 ,则 x(lnx/ln4-1)>16×(ln16/ln4-1) = 16 ,这时也不可能有解。

    只有 x = 16 时,x(lnx/ln4-1) = 16×(ln16/ln4-1) = 16 ,x = 16 是方程的唯一解。
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 楼主| 发表于 2022-8-12 11:33 | 显示全部楼层
谢谢陆老师的解。以下的解法没有一般性,但很有趣:
题: 解方程 \(x^x=4^{x+16}\).
解: 对原方程两边乘以 \(4^{-x}\) 得 \(\big({\Large\frac{x}{4}}\big)^x=4^{16}\) 两边开4次方: \(\big({\Large\frac{x}{4}}\big)^{\large\frac{x}{4}}=4^4,\)
所以 \(x/4=4,\,x=16\) 是方程的解。但 \(t^t,\) 在 \(t \in (1,\infty)\) 上严格增,
\(x=16\) 是方程的唯一解.

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发表于 2022-8-12 12:11 | 显示全部楼层
题  解方程 x^x = 4^(x+16) ,求 x 的正实数解。
另一思路:由x^x = 4^(x+16)有,(x/4)^x=4^16,即xlg(x/4)=16lg4。
显然f(x)=xlg(x/4)在(0,+∞)上是增函数,故x=16。
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发表于 2022-8-12 12:20 | 显示全部楼层
楼上 elim 的解答很好!已收藏。

楼上 波斯猫猫 的解答也已收藏。

不过解答中说“f(x)=xlg(x/4) 在 (0,+∞) 上是增函数”有些小问题。


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发表于 2022-8-12 15:23 | 显示全部楼层
题  解方程 x^x = 4^(x+16) ,求 x 的正实数解。
另一思路:由x^x = 4^(x+16)有,(x/4)^x=4^16 (x>4),即xlg(x/4)=16lg4。
显然f(x)=xlg(x/4)在(4,+∞)上是增函数,故x=16。   (此前草率了)
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发表于 2022-8-12 16:42 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 修改后的解答已收藏。
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