数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 208|回复: 6

已知 5 只动物中有 1 只患病,是逐只筛查好?还是先取 3 只混合查,再逐只筛查好?

[复制链接]
发表于 2022-8-10 04:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过血液化验来确定患病的动物,血液化验结果呈阳性的为患病动物.下面是两种化验方案:
方案甲:将各动物的血液逐个化验,直到查出患病动物为止。
方案乙:先取3只动物的血液进行混合,然后检查,若呈阳性,对这了只动物的血液再逐个化验,直到查出患病动物;若不呈阳性,则检查剩下的2只动物中1只动物的血液。
分析哪种化验方案更好


我的思路如下,请老师看看思路错在哪里了?首先假设每次化验的成本是x元。

方案甲面临的情况是不放回的化验。所以应该应用超几何分布

花费      概率
x           \(\frac{C_1^1}{C_5^1}\) =1/5

2x        \(\frac{C_1^1C_4^1}{C_5^2}=\frac{2}{5}\)

3x         \(\frac{C_1^1C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}\)

4x         \(\frac{C_1^1C_4^3}{C_5^4}=\frac{4}{5}\)

如果抽取4都没有检测到患病的动物,就不用检测第5只了。所以甲方案的期望值应该用各行的花费*各行的概率就可以了。我想不出这个分析有什么问题,但是我发现一个问题,就是概率之和已经大于1 了。我觉得这不是问题,因为本质上这是4种不同的超几何分布。所以概率相加不等于1不是问题。
所以甲方案的期望值=6x  这明显不对。5只动物检测最多花费5x就可以了。我想问题出现在每一行 的概率实际上包含了上一行的概率。以第二行为例,当计算抽取两只动物就检测出患病动物的概率时,说明检测第一只动物时没有检测出病体。所以应该从第二种情况中减去第一种情况的期望。才是“纯粹的”情况2的期望。据此:
E(甲)=\(\frac{1x}{5}+\left( \frac{4x}{5}-\frac{1x}{5}\right)+\left( \frac{9x}{5}-\frac{3x}{5}-\frac{1x}{5}\right)+\left( \frac{16x}{5}-\frac{5x}{5}-\frac{3x}{5}-\frac{1x}{5}\right)\) =\(\frac{16x}{5}\)


不知道我的这个计算是否正确,如果错误。因为乙方案的计算当中也涉及到甲方案的思路,因此我想先搞懂甲方案的期望再计算乙方案的期望。
发表于 2022-8-10 17:08 | 显示全部楼层


本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-8-10 18:57 | 显示全部楼层
我来提个问题 寻找最好的方法 让它的期望最小 ??
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-8-11 00:29 | 显示全部楼层

谢谢lu老师的解答。我想了一下你给出的甲方案的计算思路。可能更适合下题的乙方案的计算。但是下题和一楼题目有一个区别。下题只给出了患病概率,没说5人中究竟有没有人得病以及有几个人得病。所以下题乙方案考虑1次检验和6次检验两种情况。因为混合检验出阳性后还是要把五人全都检验一次才能知道准确检验结果。

而一楼这道题则明确五只中有一只病体,那么逐只检验时则面临停针的问题。假如第一只就检验出阳性。那么后面就不用检验了。总花费就是x圆。到了第四只的时候无论阴阳都可以确定病体是哪只。因此需要根据:五选一发现病体,四选一发现病体,三选一发现病体和二选一发现病体分别计算概率。然后在计算总期望值吧。

不知道我考虑的是否正确?



回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-8-11 00:59 | 显示全部楼层
考虑到 n 只动物中必有 1 只患病的已知条件,我已经对第 2 楼中的解答作了修改。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2022-8-11 02:56 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-8-11 00:59
考虑到 n 只动物中必有 1 只患病的已知条件,我已经对第 2 楼中的解答作了修改。

谢谢lu老师解答。按照你的思路,A方案分成两种假设。阳在前n-2的样本中,阳在最后两个样本中。这两种情况互斥。那么阳在前n-2中的概率是不是应该定为\(\frac{1}{n-2}\) ? 这样计算出的结果是18/5?
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-8-11 08:47 | 显示全部楼层
阳性在前 n-2 个中的概率是 (n-2)/n ,阳性在最后 2 个中的概率是 2/n 。这样才会有 (n-2)/n+2/n=1 。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2022-10-5 17:44 , Processed in 0.064453 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表