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请问什么是可数无限集合?

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发表于 2022-8-9 00:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2022-8-9 19:45 编辑

概率论导论p72。请看注释当中的红色下划线。什么是可数无限集合,既然都可数了,为什么又无限了?
什么又是部分和的极限?为什么那个表达式代表部分和的极限?什么是期望无确切定义?意思是极限不存在?



截图1



截图2




再比如下图蓝线当中的有限集合和 可数无限集合  ,有限,无限,可数分别含义是什么?为什么说\(a^{2 }\) 不属于离散变量?是因为不可数?还以其他原因?



截图3


发表于 2022-8-9 09:15 | 显示全部楼层
单就有限、无限、可数而言,三者都是表达集合所含元素个数。有限---个数小于或等于某个自然数。无限-----包含两种:1)可数----个数与自然数集一一对应,2)不可数---个数与自然数集不一一对应,没法数。
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 楼主| 发表于 2022-8-9 17:29 | 显示全部楼层
liangchuxu 发表于 2022-8-9 09:15
单就有限、无限、可数而言,三者都是表达集合所含元素个数。有限---个数小于或等于某个自然数。无限-----包 ...

那可数无限集合为什么不叫可数自然数集合?
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发表于 2022-8-9 17:47 | 显示全部楼层
可数无穷集合,可以与自然数集合一一对应,但是并不一定是由自然数组成的集合。

例如,由形式为 {√1,√2,√3,√4,√5,…} 这样数组成的集合,它与自然数一一对应,但并不是由自然数组成的集合。
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发表于 2022-8-9 19:38 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-8-9 17:29
那可数无限集合为什么不叫可数自然数集合?

正如陆教授所讲,可数无限集合是所含元素个数。可数就是可用自然数计数,不是自然数集合。
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 楼主| 发表于 2022-8-9 19:46 | 显示全部楼层
liangchuxu 发表于 2022-8-9 19:38
正如陆教授所讲,可数无限集合是所含元素个数。可数就是可用自然数计数,不是自然数集合。

谢谢解答。有两个问题:
1、以上内容是属于集合论的内容吧?是集合论入门内容?还是比较中级的内容?
2、一楼截图2对应的内容是属于高级概率论的内容么?
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 楼主| 发表于 2022-8-9 19:47 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-8-9 17:47
可数无穷集合,可以与自然数集合一一对应,但是并不一定是由自然数组成的集合。

例如,由形式为 {√1,√ ...

谢谢lu老师解答。请教两点:
1、以上内容是属于集合论的内容吧?是集合论入门内容?还是比较中级的集合内容?
2、一楼截图2对应的内容是属于高级概率论的内容么?
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发表于 2022-8-9 20:19 | 显示全部楼层
可数,可列集合的概念,详细内容可见任何一本<实变函数>
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发表于 2022-8-10 05:33 | 显示全部楼层
这是谁写的教科书?上面的例子有问题啊!
按照概率的公理化定义,必然事件的概率应该为1。在上面给出的例子中,只有个别例子满足这一条件,如:1/2+1/4+1/8+...=1。

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 楼主| 发表于 2022-8-10 15:26 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-8-9 17:47
可数无穷集合,可以与自然数集合一一对应,但是并不一定是由自然数组成的集合。

例如,由形式为 {√1,√ ...

lu老师那截图3当中“若一个随机变量可以取到不可数无限多个数,则这个随机变量就不是一个离散的随机变量.例如从区间「-1,11上随机地取一个点a,随机变量a2就不是离散”

----------------例如明天的降雨量,明天的煤炭收盘价。这些不是离散的随机变量么?可是他们也许不是自然数,也无法像根号2那样和自然数建立映射关系。那么他们就属于“不可数”了吧?因此就不是离散随机变量?但是从微积分的概念看。这些例子似乎应该是离散的啊。因为他们从时间维度上是不连续的啊。市场停止交易后,煤炭的收盘价就确定了。
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