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题 解方程 x^2+y^2 = 2020 ,求 x,y 的正整数解。
解 x,y 显然不可能是一奇一偶,因为一奇一偶的平方和必定是奇数,不可能是偶数 2020 。
x,y 也不可能都是奇数,因为奇数的平方除以 4 的余数都等于 1 ,两个奇数的平方和,
除以 4 的余数等于 2 ,而 2020 除以 4 的余数是 0 ,显然也不对。
只有一种可能,即 x,y 都是偶数。设 x = 2m ,y = 2n 。这时有
2020 = x^2+y^2 = (2m)^2+(2n)^2 = 4m^2+4n^2 ,m^2+n^2 = 505 。
m,n 平方和为奇数,所以 m,n 一奇一偶,由于对称性,只要对偶数 m 测试就可以了。
m = 2 ,505-2^2 = 505-4 = 501 ,不是完全平方。
m = 4 ,505-4^2 = 505-16 = 489 ,不是完全平方。
m = 6 ,505-6^2 = 505-36 = 469 ,不是完全平方。
m = 8 ,505-8^2 = 505-64 = 441 = 21^2 。
m = 10 ,505-10^2 = 505-100 = 405 ,不是完全平方。
m = 12 ,505-12^2 = 505-144 = 361 = 19^2 。
m = 14 ,505-14^2 = 505-196 = 309 ,不是完全平方。
m = 16 ,505-16^2 = 505-256 = 249 ,不是完全平方。
m = 18 ,505-18^2 = 505-484 = 181 ,不是完全平方。
m = 20 ,505-20^2 = 505-400 = 105 ,不是完全平方。
m = 22 ,505-22^2 = 505-484 = 21 ,不是完全平方。
由此可见,m^2+n^2 = 505 的正整数解,只有四组:
(8,21),(12,19),(19,12),(21,8) 。
因为 x = 2m ,y = 2n ,所以 x^2+y^2 = 2020 的正整数解,也只有四组:
(16,42),(24,38),(38,24),(42,16) 。 |
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