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解方程 x^2+y^2=2020 ,求 x,y 的正整数解

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发表于 2022-8-6 15:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
解方程x^2+y^2=2020(x、y∈N+)。
发表于 2022-8-6 16:33 | 显示全部楼层
2020=4×505=4×(441+64)=\(2^2×(21^2+8^2)=42^2+16^2\)
=4×(361+144)=\(2^2×(19^2+12^2)=38^2+24^2\)
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发表于 2022-8-6 17:52 | 显示全部楼层
题  解方程 x^2+y^2 = 2020 ,求 x,y 的正整数解。

  x,y 显然不可能是一奇一偶,因为一奇一偶的平方和必定是奇数,不可能是偶数 2020 。

    x,y 也不可能都是奇数,因为奇数的平方除以 4 的余数都等于 1 ,两个奇数的平方和,

除以 4 的余数等于 2 ,而 2020 除以 4 的余数是 0 ,显然也不对。

   只有一种可能,即 x,y 都是偶数。设 x = 2m ,y = 2n 。这时有

    2020 = x^2+y^2 = (2m)^2+(2n)^2 = 4m^2+4n^2 ,m^2+n^2 = 505 。

   m,n 平方和为奇数,所以 m,n 一奇一偶,由于对称性,只要对偶数 m 测试就可以了。

    m = 2 ,505-2^2 = 505-4 = 501 ,不是完全平方。

    m = 4 ,505-4^2 = 505-16 = 489 ,不是完全平方。
   
    m = 6 ,505-6^2 = 505-36 = 469 ,不是完全平方。

    m = 8 ,505-8^2 = 505-64 = 441 = 21^2 。

    m = 10 ,505-10^2 = 505-100 = 405 ,不是完全平方。

    m = 12 ,505-12^2 = 505-144 = 361 = 19^2 。

    m = 14 ,505-14^2 = 505-196 = 309 ,不是完全平方。

    m = 16 ,505-16^2 = 505-256 = 249 ,不是完全平方。

    m = 18 ,505-18^2 = 505-484 = 181 ,不是完全平方。

    m = 20 ,505-20^2 = 505-400 = 105 ,不是完全平方。

    m = 22 ,505-22^2 = 505-484 = 21 ,不是完全平方。

   由此可见,m^2+n^2 = 505 的正整数解,只有四组:

         (8,21),(12,19),(19,12),(21,8) 。

   因为 x = 2m ,y = 2n ,所以 x^2+y^2 = 2020 的正整数解,也只有四组:

          (16,42),(24,38),(38,24),(42,16) 。
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 楼主| 发表于 2022-8-7 09:14 | 显示全部楼层
题:解方程x^2+y^2=2020(x、y∈N+)。

另一思路:显然,x与y必同奇或同偶。

当x与y同奇时,设x=2m+1,y=2n+1(m、n∈N),则(2m+1)^2+(2n+1)^2=2020,

即2(m^2+n^2+mn)=1009。此时显然无解。

当x与y同偶时,设x=2m,y=2n(m、n∈N+),则(2m)^2+(2n)^2=2020,

即m^2+n^2=505。不妨设m=2t,n=2e-1 (t、e∈N+),

则(2t)^2+(2e-1)^2=505,或t^2+e(e-1)=126。

令偶数t=2r(r∈N+),则2r^2+e(e-1)/2=63。据对称性,不妨考虑2r^2≤e(e-1)/2,

则2r^2≤31.5,即r≤3。故x=8r。即x=8,16,24。

经检验,x=8时,y无解;x=16时,y=42;x=24时,y=38。

根据对称性,其解集为{(16,42),(24,38),(38,24),(42,16) }。
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