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手算求解 x(x+2)(x+4)(x+6)=9

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发表于 2022-8-6 07:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:手算求解 \(x(x+2)(x+4)(x+6)=9\)
发表于 2022-8-6 08:15 | 显示全部楼层
手算求解方程 x(x+2)(x+4)(x+6) = 9 。

因为 x,x+2,x+4,x+6 的平均中心是 x+3 ,所以可作变量代换,令 y = x+3 ,则有

   0 = x(x+2)(x+4)(x+6)-9 = (y-3)(y-1)(y+1)(y+3)-9 = (y^2-9)(y^2-1)-9

     = y^4-10y^2+9-9 = y^4-10y^2 = y^2(y-√10)(y+√10) 。

   可求得四个根  

           y = 0(重根),y = √10 ,y = -√10 。

   因为 y = x+3 ,x = y-3 ,所以原方程的四个根为

           x = -3(重根),x = -3+√10 ,y = -3-√10 。
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 楼主| 发表于 2022-8-6 08:54 | 显示全部楼层
陆老师的解很好! 谢谢
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发表于 2022-8-6 11:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-8-6 11:59 编辑

也可:显然x = -3是其一根。由x(x+2)(x+4)(x+6) = 9,

得[(x+3)-3][(x+3)-1][(x+3)+1][(x+3)+3] = 9,

或[(x+3)^2-9][(x+3)^2-1]=9,即(x+3)^2[(x+3)^2-10]=0。

解得,x 1=x2= -3,x 3= -3+√10 ,x4= -3-√10 。
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