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为勾股定理“伸冤”

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发表于 2022-8-5 17:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
为勾股定理“伸冤”

以下文章来源于包彦禹老师 ,作者包彦禹老师

素有“千古第一定理”之称的勾股定理,它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现,也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理,它导致了无理数的发现,引发了第一次数学危机,它使数学由测量计算转变为推理论证,它的公式是第一个不定方程……



定理描述的是直角三角形三边的数量关系:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在中国,也被称为“商高定理”,西方则称其为“毕达哥拉斯定理”。几千年来,太多的溢美之词给了这一定理,有人把它视为几何学中光彩夺目的明珠,开普勒则把它比作黄金,由于它迷人的魅力,人们冥思苦索给出了数百种证明方法,成为了证明方法最多的定理。

然而,关于它的谬误也多。许多数学书籍会谈及勾股定理,每每翻开,看到类似如下的表述,未免惆怅!



更为离谱的当数“百度百科”:



这里,节选了百度词条的小段搜索结果,短短几行的文字,居然可找出5个疑问点(用红色方框标注处),一个如此重要的定理竟然这般的不严谨,看来,我们需要为“勾股定理”说几句!

一  毕达哥拉斯到底有没有证明定理?

我们的结论是,没有确凿证据表明,毕达哥拉斯证明了该定理。

查阅众多文献,对于古希腊的毕达哥拉斯以及他的学派,霍华德·伊夫斯《数学史概论》(P75)这样描述它的:由于毕达哥拉斯的追随者给他蒙上了一层神话之雾,我们对他的了解谈不上什么肯定性。



关于毕达哥拉斯是否证明了直角三角形的三边关系,以色列数学家 Eli Maor 指出:人们通常把《几何原本》卷Ⅰ的命题 47(在直角三角形中,直角的对边上的正方形等于包含这个直角的两边上的正方形)归功于毕达哥拉斯,认为这个证明就是毕达哥拉斯提出的,这是经不起推敲的。


图为 18 世纪阿拉伯文献中数学家阿杜西对欧几里得证法的解读,似乎此图经常被误作原文配图

Eli Maor 认为,《几何原本》的任何地方都没有出现与特殊定理相关的人名,毕达哥拉斯也不例外。

细看命题 47 ,它证明的仅是一种面积关系,当然可以进一步解释为证明了边长关系,如果为证明三边关系,欧几里得不会吝啬再推理一下。

同时,他指出,如果卷 Ⅰ 的命题 47 可以证明,那么卷 Ⅵ 的命题 31(在直角三角形中,直角的对边上的图形等于包含直角边的边上的相似及类似画出的图形)的证明更一般化,同样可视为勾股定理的证明。


《几何原本》卷 Ⅵ 命题 31 的配图

也有西方学者提出,毕达哥拉斯可能采用类似“中国方法”证明了直角三角形三边关系。

所谓“中国方法”,指的是“赵爽弦图”的证明方法,它是迄今为止被认为定理最巧妙的证法:



2002 年 ICM 会标和中国数学会徽标均出于它,赵爽弦图的图形构造如下:



西方流传毕达哥拉斯在一次教派聚会时想到类似证法的故事,其几何图形构造如下:



然而,这也是站不住脚的,确凿依据同样来自《几何原本》。

作为总结当时期古希腊人几何成就的巨著,四百多个定理证明没有一处用的是图形割补的方法。古希腊人崇尚纯粹的演绎推理,几乎成了他们的信仰,对类似中国的“出入相补之术”(割补法)这样拼凑的物理方法,是嗤之以鼻的。

所谓这样的毕达哥拉斯证法,很可能就是“西方中心说”的杜撰,近现代的数学话语权在西方,如此重要的定理推崇毕达哥拉斯证明了它,许多人自然相信,事实上,它缺少证据。

更加可信的是,毕达哥拉斯曾游历古埃及、古巴比伦等地,知晓直角三角形三边关系的结论,而非给出证法,因为古巴比伦人和古埃及人至少比他早 1200 多年就发现了这一定理。



西方人喜欢称其为毕达哥拉斯定理并无不妥,但附加上毕达哥拉斯证明了该定理,这是没有证据的中心说,我们不能以讹传讹。

二  百牛定理是无稽之谈

至于“百牛定理”,传说毕达哥拉斯证明了勾股定理,为此而兴奋异常,宰杀了一百头牛表示庆贺。

如前所述,毕达哥拉斯证明一说没有依据,百牛自然是无稽之谈。

再者,也有流传因为毕达哥拉斯发现了音乐的调和级数,音乐可以用整数比解释,认为这是学派的重大发现,进而宰百牛庆祝。因为在毕达哥拉斯看来,最能净化人们心灵的,一定是音乐,发现音乐和谐背后的数学原理,庆祝一番自然合情。



但可能也是传说而已,后人参考古希腊人流传下来碎片记载,得到的结论是:该学派的知识,一直口口相传,从未留下文字记录。毕达哥拉斯所创建的学派,是一个类似宗教的秘密组织,信徒大多是贵族,他们主张一夫一妻,允许女子接受教育,知识和财产是公有的(从这个角度看,许多关于毕达哥拉斯的发现,可能并非毕达哥拉斯本人,而是学派的共同发现),他们有着共同的生活方式,素食主义是成员们必须遵守的,禁食豆子……



我们摘取研究结果的关键词——口口相传,素食主义。素食主义者宰杀百牛?自然是茶余饭后的一个谈资而已,我们没有查找到“百牛定理”译名的由来,可能是盲目媚外的附和,只能感叹玩笑开得有点大。

三  商高提出的不是特例

勾股定理,也叫商高定理,均出自中国古代数学典籍《周髀》,其开篇就记载有周公见商高时一段对话。



原文如下:昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰“数之法出于方圆,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘。得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”



对话发生在公元前 1000 多年的周朝,周公,周文王姬昌四子,周武王的弟弟姬旦,是主张以礼治国的典范,他请教商朝的旧贵族商高一些数学问题时,周公问:“我早已听说大夫您很擅长数学,伏羲建立了天地历法,可是天空没有台阶可供攀登,大地也无法用尺子度量,请问那些数据是怎样得来的?”商高的回答是:“数学的方法出自于圆和方,圆可由长方形推导而来,长方形可用直角曲尺画出来,它的面积计算可参照九九乘法口诀。沿对角线折叠矩形,可得到直角三角形,如果它的较短直角边长为 3 ,较长边为 4 ,那么它的斜边长就为 5 。把这个直角三角形环绕一周,组成了一个大正方形。减去两个矩形面积,剩余部分就是边长为 3 的正方形面积加上边长为 4 的正方形面积,等于 25 。大禹治水时,通过观察山川之形,判断山势高低,使得洪水入海,消除水患,依据就是这样圆方之术。”



按此文言文释义,商高关于勾股定理的描述绝非特例,只是他选择了个最容易懂的例子讲给周公听。

后续提到的大禹治水所用测量方法——用“矩”之道,在《周髀》卷二中,便载有“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远”。

其中“偃矩以望高”,指大禹治水时测量高地的方法,用现代数学语言可表述为:如下图,从 A 处仰视高处的一点 E ,将矩(直角曲尺)的一条直角边沿 AC 平放,视线与曲尺的另一边相交于 B ,可利用以下关系计算 DE 的长度。



不必爬上高地,测得 BC ,AC ,AD ,即可计算出 DE 的长度。将曲尺下垂俯视,同样可得低洼处的深度。

商高提及的是相似勾股形原理,足以表明,相对复杂的相似原理都知晓,所以,商高所提,绝非“勾三股四弦五”一个特例。

商高只知“勾三股四弦五”,这是典型的没有通篇熟读《周髀》而断章取义的结果。

尤其值得一提的是,在《周髀》一段“陈子对话”中,记录有“句(通“勾”)股各自乘,并而开方除之”,更是明确的一般化描述了勾股定理,其意为:



商高与周公的对话,也有学者根据“圆方之术”作如下解读:



以上图之中圆的直径 1 为基数,那么圆的周长是其直径的三倍(圆周率近似为 3 ),方的周长是其直径的四倍。把方圆展开,一边为三,一边为四,两边成直角组成的三角形,斜边为五。圆和方,代表的是天地之形,是阴阳之数。

无论何解,把勾股定理称之为商高定理,是有确凿依据的,绝非百度百科所云“特例”。



四  赵爽不是勾股定理的提出者

数学典籍《周髀》,是一本数理天文学著作,台湾学者李敖解读“周”为“天边的一周”之意,“髀”指“表竿”,一种测影工具,显然,它是一本关于测量的数学书。到唐国子监,李淳风等将《周髀》与《九章算术》等十本算经列为教材,故《周髀》改名《周髀算经》。



在上海图书馆所藏南宋孤本《周髀算经》中,保留有东汉末至三国时代赵爽、北周甄鸾、唐李淳风的三家注文,其中赵爽的注解是一种纯学术性的注释和研究,贡献最大,他给出了“勾股圆方图”,用以证明勾股定理。

厘清了这段由来,我们认为,如果将赵爽的“提出者”理解为证明方法的提出,未尝不可。



但在提出者中与毕达哥拉斯、商高并列,稍有不妥,因为赵爽从未提出过勾股定理,只是给出了一种最为简洁的证明方法。

五  结语

关于勾股定理的疑问,文章所谈只是其一,学术著作以及网络资源的鱼龙混杂已是当下的一大乱象。作为华夏祖先有着卓越贡献的重要定理,如此谬论连连,实属不该。

写此文以表歧义,也许同样会有纰漏,但对待学术,我们需要有起码的严谨——有理有据。

不能短短几行字,谬误一箩筐,“百度百科”可谓“娱乐百科”,更不能长他人志气,没自己威风,该为勾股定理“伸冤”!

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发表于 2022-8-6 10:28 | 显示全部楼层
对!
    不但要伸冤!而且还要找源!!

                 黄河之水天上来,
                 勾股定理出方台,
                 中华数学源流长,
                 慢慢从头细说来。
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