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过点 P(2,1) 的直线与椭圆 x^2/9+y^2/4=1 交于两点,求过这两点的椭圆切线交点的轨迹

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发表于 2022-8-2 11:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
椭圆: \(       \frac{x^2}{9}+  \frac{y^2}{4}=1      \)
她里面有一点:\(     P(2,1)      \)
过这个点,我们作了很多椭圆割线,
每条割线和椭圆交于两点,
过这两点作椭圆切线,两切线又交于一点。
                  

显然,无数切线的交点,构成了一个轨迹。
请证明:这个轨迹乃是一条直线:
\(     \frac{2  \bullet  x}{9}+  \frac{1   \bullet   y}{4}=1      \)
发表于 2022-8-2 13:08 | 显示全部楼层
九分之x^2+四分之y^2=1可拆成九分之x*x+四分之y*y=1,带入(2,1),就是那直线,原理和圆的一样。
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 楼主| 发表于 2022-8-4 11:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-8-4 12:13 编辑
yeyucaiji 发表于 2022-8-2 13:08
九分之x^2+四分之y^2=1可拆成九分之x*x+四分之y*y=1,带入(2,1),就是那直线,原理和圆的一样。


后来,我想到的办法


取三条割线
结果,就有三组切线
每一组切线,形成一个交点



三个交点构成一条直线,并求出这个直线方程!



这个方法比较“狡猾顽皮”,也不能称之为证明啦,最多可以算作【说明
【旁注:计算起来还很麻烦繁琐
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发表于 2022-8-4 11:56 | 显示全部楼层


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我一开始,也想到放射,并且进行了放射,到后来因为计算庞杂,我就放弃啦! 这次回去,我看看我错在哪里  发表于 2022-8-4 12:23
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发表于 2022-8-4 11:58 | 显示全部楼层


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非常感激感谢!!!谢谢陆老师  发表于 2022-8-4 12:22
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 楼主| 发表于 2022-8-5 10:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-8-5 11:21 编辑

                  

5楼中Q点坐标的计算,进行补一下 展一下
吾木有去运用极限的定义,
这是要老命的!


\(          Set:   Q(x,y   )                 \)
\(          \frac{y}{x}  =\frac{   \frac{1}{2}  }{   \frac{2}{3}   } = \frac{1}{2}\bullet \frac{3}{2} = \frac{3}{4}                  \)
\(          \Longrightarrow  \sqrt{(\frac{3}{4}x) ^2 +x^2}     \sqrt{  \frac{4}{9} \bullet \frac{1}{4}   }    =1                 \)【第一次开展这样的计算】
\(         \Longrightarrow \frac{25}{16}x^2 \bullet    \frac{16+9}{36}                 \)
\(         \Longrightarrow x=\sqrt{    \frac{36 \bullet  16   }{ 25 \bullet  25  }}= \frac{6  \bullet   4}{25}= \frac{24}{25}                 \)

\(         \Longrightarrow              y=  \frac{3}{4}  \bullet    \frac{24}{25}=  \frac{18}{25}                 \)
\(       \Longrightarrow     (\frac{24}{25}  ,\frac{18}{25})                 \)

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 楼主| 发表于 2022-8-5 11:10 | 显示全部楼层
对第6楼进行一下粗俗化演绎



知识点:【园之极线,极点】の说明性证明
\(                         P=极点,   Q=极线                  \)
\(                         \Longrightarrow   OP  \bullet   OQ=r^2                  \)

显然, \(                          Rt\blacktriangle  KOQ   \backsim     Rt\blacktriangle  POM                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{OK}{OQ}=\frac{OP}{OM}                  \)
\(                         \Longrightarrow    OK  \bullet   OM   =r^2                  \)


又显然,   \(                         Rt\blacktriangle  KAO   \backsim     Rt\blacktriangle  AMO                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{OK}{AO}=\frac{OA}{MO}                  \)
\(                         \Longrightarrow    OK  \bullet   OM   =OA^2   =r^2                  \)


又显然,   \(                         Rt\blacktriangle  KOB   \backsim     Rt\blacktriangle  BOM                  \)
\(                         \Longrightarrow   \frac{KB}{OB}=\frac{OB}{OM}                  \)
\(                         \Longrightarrow    KB  \bullet   OM   =OB^2   =r^2                  \)


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 楼主| 发表于 2022-8-5 11:11 | 显示全部楼层
再次感谢陆老师
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