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已知:半径分别为 3,4,5 的三个圆两两外切,求它们的外公切线所围成三角形的边长。

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发表于 2022-7-28 21:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知:半径分别为3,4,5的三个圆两两外切,求它们的外公切线所围成的三角形的边长。
 楼主| 发表于 2022-7-30 09:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-7-31 09:39 编辑

顶一下。39度高温,晕!天气预报称,还将持续两周左右。烧烤模式坐不住!
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发表于 2022-7-30 10:59 | 显示全部楼层

几何画板求得三边为:17.06, 31.01, 36.94

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 楼主| 发表于 2022-7-31 09:09 | 显示全部楼层
从拟题至此时,未试算过(高温39度,晕!天气预报称,还将持续两周左右),也不知其难易。如果把条件换成三个圆中有两个是等圆或三个都是等圆就简单多了。本题试试解析法,看看怎样?
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 楼主| 发表于 2022-8-4 19:04 | 显示全部楼层
试了解析法,不难。只是知识点多,机械重复计算量大。
把半径为3和5的圆的圆心置于点(-3,0)和(5,0),则易求出它们的切线x+√15y+15=0。
把半径为4的圆置于半径为3和5的圆的上方,可求出圆心(-1,3√5)(费时,所用知识点多)。
仿上,用点到直线的距离可求出另两条切线。再解方程组,可求三角形三顶点,这样就能求三边了。
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 楼主| 发表于 2022-8-7 14:40 | 显示全部楼层
已知:半径分别为3,4,5的三个圆两两外切,求它们的外公切线所围成的三角形的边长。
简洁思路:
1,把半径为3和5的圆的圆心置于点(-3,0)和(5,0),把半径为4的圆置于半径为3和5的圆的上
方,并设圆心为(m,n),则(m+3)^2+n^2=49,(m-5)^2+n^2=81。易解得(m,n)=(-1,3√5)。
2,设下面两个圆的切线为x+by+c=0,则∣-3+c∣/√(b^2+1)=3,∣5+c∣/√(b^2+1)=5。
解得b=√15,c=15,即切线为x+√15y+15=0。(电脑易出问题,先放一部分)
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 楼主| 发表于 2022-8-7 20:22 | 显示全部楼层
3,按2的方法,求出的其它两条切线为:2x+√5y-25=0,2(2+√15)x-√3y+9(4+√15)=0。
4,解三条切线:x+√15y+15=0,2x+√5y-25=0,2(2+√15)x-√3y+9(4+√15)=0
的交点(后两个方程的计算量大)。(电脑易出问题,先放一部分。有时间再算)
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 楼主| 发表于 2022-8-8 08:49 | 显示全部楼层
临时。记a=√5,b=√3,三条切线为:x+aby+15=0,2x+ay-25=0,2(2+ab)x-√by+9(4+ab)=0。
前两个方程的解为(5b+15,-2ab-a) 。
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 楼主| 发表于 2022-8-8 08:55 | 显示全部楼层
三条切线的方程:x+√15y+15=0,2x+√5y-25=0,2(2+√15)x-√3y+9(4+√15)=0,验证了没有错。但计算太繁杂了。也请有此兴趣的网友接着算算。
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发表于 2022-8-11 15:13 | 显示全部楼层


终于算完了

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