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本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-7-29 19:18 编辑
说说数学中的“或,且,非”(1---或)
1. “或”--- 逻辑联结词
若p和q是两个简单命题,则可用逻辑联结词“或”把p和q连结起来复合成一个新命题“p或q”,记为:p∨q。此操作可称为命题的“或”运算。p∨q为真的充要条件是p和q中至少有一个命题为真。显然,有p∨q∨r=(p∨q)∨r,即可多个命题复合,并满足结合律。
例1. 2≥0是一个复合命题。由简单命题“2>0“和简单命题“2=0“复合而成,即“2>0 或2=0“,简记为:2≥0,读作:2大于0 或2等于0;也可读作2大于等于0,或2不小于0。根据其真值条件:因“2>0“为真,故“2≥0“为真。
2. “或”---非逻辑联结词
(1)可兼“或“
其含义为:既可具有某种性质P,又可具有某种性质q。
虽然x≥0 亦可写成x>0或x=0,但这里的”或“不是逻辑联结词,是可兼”或”,即既可x>0,又可x=0(二者皆可)。而“2>0或2=0“中的”或“本身是逻辑联结词,但在此也可理解成不可兼“或"。
事实上,x≥0不是命题,是开句,即所谓的条件命题。要加上恰当的量词才能成为命题。如:存在实数x,使得x≥0(这里加的特称量词”存在“,得到的是特称命题。是一个真命题)。又如:对任意实数x,都有∣x∣≥0(这里加的全称量词”都有“,得到的是全称命题。是一个真命题)。另外,x≥0是一个非严格不等式,表示的范围形成非负实数集{x∣x≥0},即[0,+∞)。
(2)不可兼“或“
其含义为:某两种不同性质的P和q,二者只能具其一,即二者不可兼。
例(2) 2+3=5,或2+3≠5(这里也可理解成逻辑联结词);两条直线共面或异面;两条直线或平行,或相交,或异面;∣x∣>0,或∣x∣=0;对任意两个实数a和b,则a>b,或a=b,或a<b(即实数的三岐性。三者必居其一,且只居其一);若三个平面α,β,γ两两相交成三条线a,b,c,则a∩b∩c=O或a∥b∥c(这里还表示两种情形)。
(3)可兼-可不兼“或“
可兼-可不兼“或“,实为可兼“或“。
例3. 若x=a,或y=b,或z=c,则(x-a)(y-b)(z-c)=0;集合A∪B={x∣x∈A,或x∈B}(与A和B是否有公共元素无关)。
总结:对“或”,它是逻辑联结词还是非逻辑联结词,是可兼“或“还是不可兼“或“,要根据所陈述内容的实质才能做出正确无误的判断。
注:普通语句中的”或“该怎样理解?
例 (1)部队某官兵是汉族或大学生或连长(有几种情况?);
例 (2)或者把老虎打死,或者被老虎吃掉,二者必居其一,且只居其一(这句话有无问题?);
例 (3)某学生是三好生或优秀学生干部(有几种情况?)。
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