质量和角动量：定义爱因斯坦遗留的概念

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质量和角动量：定义爱因斯坦遗留的概念

听起来或许令人惊讶，但在广义相对论诞生 107 年后的今天，人们依然在试图理解其中基本概念的含义。

撰文 | Steve Nadis（美国知名科普期刊 Discover 和 Astronomy 的特约撰稿人）

译者 | 秦哲涵（清华大学）

校对 | 鲜于中之（清华大学）


研究者现在可以测量旋转物体在时空中产生的波纹，并计算这些波纹从物体带走的角动量的确切大小，而这些波纹就是所谓的引力波。

自从爱因斯坦提出广义相对论起，一个多世纪以来，他那史诗般的引力理论通过了每一次实验测试。广义相对论改变了我们对引力的理解。长久以来，人们认为引力是有质量物体间的吸引力。与此不同，广义相对论将引力描绘成质量和能量导致的时空弯曲的结果。这个理论取得了惊人的成功 —— 从 1919 年人们确认光线在太阳引力场中弯曲，到 2019 年揭示了黑洞轮廓的观测。所以，你可能会惊讶，广义相对论到今天仍在发展和完善。

尽管爱因斯坦在 1915 年写下了方程描述了有质量物体如何产生时空的曲率，但他的理论并没有提供定义物体质量的简单而标准的方法。而角动量 —— 一种物体在时空中旋转运动度量 —— 则是更难定义的概念。

定义这些物理量的困难之一在于广义相对论的反馈效应。物质和能量使时空发生弯曲，但这种曲率本身又会成为能量的来源，从而导致更多的曲率 —— 这种现象有时被称为“重力的重力”。我们没有办法将物体的固有质量从其非线性效应产生的额外能量中分离出来。如果质量没有定义好，动量或者角动量的定义就更无从谈起了。

爱因斯坦认识到了定义质量所面临的挑战，但他从未完全阐明质量是什么，以及如何测量它。直到 20 世纪 50 年代末和 60 年代初，人们才第一次给出了质量的严格定义。物理学家 Richard Arnowitt 、Stanley Deser 和 Charles Misner 定义了从几乎无限远的地方观察时，一个孤立物体（如黑洞）的质量。在无限远离物体的地方，引力的影响趋近于零，时空近乎平坦。

这种计算质量的方法，按照其提出者的名字，被称为“ADM 质量”。ADM 质量虽然非常有用，但它无法帮助物理学家在有限大的区域内衡量质量。比如说，他们会研究两个正在合并的黑洞，并且希望在黑洞合并前确定每个黑洞的质量，而不只是整个系统的质量。封闭在任何独立区域内的质量被称为“准局域质量”。在该区域的表面上，重力和时空曲率可以非常强。


著名数学家丘成桐自上世纪 70 年代以来一直致力于广义相对论的数学分析，他于今年春天从哈佛大学退休，担任清华大学讲席教授。

2008 年，哥伦比亚大学数学家王慕道和现任清华大学教授、哈佛大学荣休教授丘成桐发展了准局域质量的定义，导致了丰富的成果。2015 年，他们在此基础上和另一位合作者一起定义了准局域角动量。而今年春天，这些作者和第四位合作者首次提出了人们寻求已久的满足“超平移不变性”的角动量的定义。超平移不变性意味着，该定义与观察者所在的位置和坐标系的选取都无关。有了这样的定义，观测者原则上就可以测量旋转物体在时空中产生的波纹，并计算这些波纹从物体带走的角动量的确切大小，而这些波纹就是所谓的引力波。

密歇根大学数学家、广义相对论专家 Lydia Bieri 在谈到这篇 2022 年 3 月的论文时说：“这是很重要的结果，也是数年来复杂的数学研究的巅峰。”事实上，广义相对论在这些方面的发展花费的时间不是数年，而是数十年之久。

保持准局域

在 20 世纪 60 年代，霍金（Stephen Hawking）提出了一个准局域质量的概念。由于其简单性，这个定义在某些情况下仍然受到人们的青睐。在试图计算黑洞视界 —— 其不可见的球形边界 —— 所包围的质量时，霍金证明了，只要确定入射光线和出射光线被其中包含的物质和能量弯曲的程度，就可以计算任何球体内部的质量。虽然“霍金质量”具有相对容易计算的优点，但该定义仅适用于球对称的时空（这是一个理想化条件，因为现实世界中没有任何东西是完全球对称的）或者不随时间变化的“静态”（从而无趣）的时空。


已故的英国物理学家斯蒂芬·霍金提出了准局域质量的最早定义之一。虽然计算起来很简单，但霍金质量只在简单的情形下有效。（照片摄于 1979 年，照片来源：Santi Visalli / Getty Images）

对更一般定义的寻求仍在继续。1979 年，在普林斯顿大学的一次课程中，黑洞物理学的另一位先驱、英国数学物理学家彭罗斯（Roger Penrose）将描述准局域质量确立为广义相对论中尚未解决的头号问题：“不必‘走向无限’就能定义好质量这个概念”。而准局域角动量的定义在彭罗斯的列表中排行第二。


1979 年，也就是这张照片拍摄的前一年，牛津大学的数学物理学家罗杰·彭罗斯指出，质量和角动量的准局域定义是广义相对论中第一个和第二个最重要的开放问题。彭罗斯获得了 2020 年诺贝尔物理学奖，因为他证明了黑洞的形成是爱因斯坦理论的可靠预测。（照片来源：Anthony Howarth / Science Source）

同年早些时候，丘成桐和他的前学生，现在的斯坦福大学的荣休教授孙理察（Richard Schoen）证明了准局域定义的一个重要的先决条件。也就是说，他们证明了一个孤立物理系统的 ADM 质量 —— 从无限远处测量的质量 —— 永远不可能是负数。孙-丘的“正质量定理”是定义准局域质量和其他物理量的至关重要的第一步，因为如果能量没有下限，它就可以变为负值并无限减小，那么时空和其中的一切都将变得不稳定。（1982 年，丘成桐获得了数学领域的最高荣誉菲尔兹奖，其中的部分原因是正是他在正质量定理方面的工作。）

1989 年，澳大利亚数学家 Robert Bartnik 根据该定理提出了一个准局域质量的新定义。Bartnik 的想法是，取包含在一个曲面内的有限大小的区域，然后用许多层面积更大的曲面将其包围，这样，就可以将有限的区域扩展到无限大的区域，从而可以计算其 ADM 质量。但一个区域可以通过很多种方式扩展，就像气球的表面积可以均匀地放大，也可以向不同方向拉伸，而每一种方式都会得到不同的 ADM 质量。Bartnik 声称，准局域质量应该是通过这种方法所能得到的 ADM 质量的最小值。王慕道解释说：“这个结论不可能在正质量定理之前得到，否则的话质量可以是负无穷大”，从而无法确定最小质量。

康涅狄格大学数学家黄篮萱表示，Bartnik 质量一直是数学中的一个重要概念，但它最主要的缺点在于实用性：求最小值极其困难。“几乎不可能计算出准局域质量的实际大小。”

物理学家 David Brown 和 James York 在 20 世纪 90 年代提出了一种完全不同的方法。他们将一个物理系统包裹在一个二维曲面中，然后试图根据其曲率确定该曲面内部的质量。然而，Brown-York 方法的一个问题是，在完全平坦的时空中，它可能会给出错误的答案：即使准局域质量应该为零，得出的结果也可能是正值。

尽管如此，王慕道和丘成桐在 2008 年的论文中仍然使用了这种方法。基于 Brown 和 York 的工作，以及丘成桐与哥伦比亚大学数学家刘秋菊进行的研究，王慕道和丘成桐找到了一种方法，绕过了完全平坦时空中的正质量问题。他们在两种不同的背景下测量了曲面的曲率：一种是“自然”背景，即代表了我们宇宙的时空（曲率可能相当复杂），另一种是被称为闵可夫斯基（Minkowski）时空的“参考”时空，它完全平坦，因为没有任何物质。他们猜测，这两种背景下曲率的任何差异都是由于曲面内部的质量 —— 换句话说，准局域质量 —— 造成的。

正如他们在论文中所说，他们的定义满足“准局域质量有效定义的所需满足的所有要求”。然而，他们方法的一个特点限制了其实用性：“尽管我们的定义非常精确，” 王慕道说，“但它总是涉及到求解一些非常困难的非线性方程。”这种方法在理论上是好的，但在实际应用中往往很吃力。

任意的角度

2015 年，王慕道和丘成桐与加州大学河滨分校的陈泊宁合作，开始定义准局域角动量。经典力学中，作圆周运动的物体的角动量，可以简单地由其质量乘以其速度乘以圆的半径得出。这是一个很有用的可测量，因为它是守恒的，这意味着角动量可以在物体之间传递，但不会被凭空创造或消灭。物理学家可以追踪角动量在物体和环境之间的交换情况，从而深入了解系统的动力学过程。

为了定义包含在一个曲面内部的准局域角动量，王、丘和陈需要两件事：一是他们已经得到了的准局域质量的定义，二是时空中旋转的详细知识。和之前一样，他们首先将曲面嵌入到可能的最简单的环境中，即闵可夫斯基时空 —— 之所以选择它，是因为它非常平坦，而且具有旋转对称的特性，每个方向看起来都一样。测量速度和位置需要坐标系，而旋转对称性使人们能够以不依赖坐标系原点的方式定义准局域角动量（原点是 x、y、z 和 t 轴相交的点）。接下来，他们建立了一个一一对应关系，将闵可夫斯基时空中曲面上的点，和放置在原本（自然）时空中同一曲面上的点联系起来，从而确保了后者的坐标无关性。

随后，三人与台湾成功大学的王业凯联手解决了一个大约 60 年来没有被解决的问题：如何表征被引力波带走的角动量，例如当两个黑洞相互旋转并剧烈合并时发射出的角动量。他们关于准局域角动量的定义在这种情况下不成立，因为测量必须远离漩涡，而不是接近黑洞合并的中心。合适的观测位置称为“类光无穷远”，这是彭罗斯发明的一个概念，用来指代向外传播的辐射，包括引力和电磁辐射，最终到达的目的地。

正如在广义相对论中经常发生的那样，一个新的复杂问题出现了：引力波携带的角动量，即使在类光无穷远处测量（或距离足够远而近似成立），似乎也可能因观察者坐标系的原点和方向的选择而变化。这个困难源自于“引力波记忆效应” —— 当引力波穿越时空时，它们会留下永久的印记。引力波在一个方向上扩展时空，并在垂直的方向上收缩时空（这是 LIGO 和 Virgo 等引力波天文台检测到的信号），但时空永远不会精确恢复到其初始状态。“从中穿过的引力波改变了物体之间的距离”, 康奈尔大学的广义相对论学家 Eanna Flanagan 解释道,“引力波可以移动观察者一点 …… 但他们不知道自己已经被移动了。”

这意味着，即使不同的观察者最初对其坐标系的原点达成一致，但在引力波导致物体略微抖动之后，他们将不再彼此认同。这种不确定性反过来又导致了角动量测量的任意性，被称为“超平移”。理解超平移的另一种方法是，虽然物体的质量和速度都不会被经过的引力波影响，但其旋转运动的半径会被扭曲。旋转半径可能看起来像是被引力辐射拉长或收缩，依赖于半径相对于坐标系的方向，从而导致角动量的不同。


王慕道（左）与陈泊宁在台湾大学的研讨室，他们在那里完成了超平移不变角动量的部分工作。（照片来源：陈泊宁）

守恒的物理量不应该，至少看起来不应该根据我们标记事物的方式而变化。这就是陈、王、王和丘希望纠正的情况。从 2015 年准局域角动量的定义开始，他们计算了有限半径区域内包含的角动量。然后他们让半径趋于无穷大并取其极限，这最终把与坐标无关的准局域定义转化为了在类光无穷远处的超平移不变量。这项工作发表在 3 月份的《理论和数学物理进展》杂志上。有了这个有史以来第一个超平移不变的角动量的定义，人们原则上就可以确定黑洞碰撞期间发射的引力波所带走的角动量。

“这是一篇精彩的论文和一个精彩的结果”，纽约石溪大学的数学家 Marcus Khuri 说道，“但问题是，它有多实用？”他解释说，这个新的定义是抽象的，难于计算，“而且一般来说，物理学家不喜欢难以计算的东西。”

唯一的选择

然而，难以计算是广义相对论几乎不可避免的特征。除了在高度对称的情况下，通常人们甚至无法精确求解爱因斯坦早在 1915 年提出的非线性方程。与之相反，研究人员依靠超级计算机来获取近似解。他们通过将时空分解为小网格，并在不同时刻分别估计每个网格的曲率，从而解决问题。当他们增加更多的网格时，他们的近似结果会变得更好 —— 就像给高清电视增加更多像素一样。

这些近似结果使研究人员能够根据 LIGO 和 Virgo 天文台检测到的引力波信号计算合并黑洞或中子星的质量和角动量。德国波茨坦的马克斯·普朗克引力物理研究所的物理学家、LIGO 合作组织成员 Vijay Varma 表示，目前对引力波的观测还不够精确，不足以明显观察到超平移引起的细微差异。“但当我们的观察准确性提高 10 倍时，这些因素将变得更加重要”，Varma 说道。他指出，这一个数量级的提高最早可能在 2030 年实现。Flanagan 持有不同的观点，他认为超平移“不是一个需要解决的问题”，而是我们需要面对的广义相对论中角动量的一个不可避免的属性。

芝加哥大学的广义相对论专家，物理学家 Robert Wald 在一定程度上赞同 Flanagan 的观点。他认为与其说超平移是一个实际问题，不如说是一种“不便”。尽管如此，他仔细审查了陈、王、王和丘的论文并得出证明成立的结论。“这真的解决了超平移的任意性，”Wald 说，并补充道，“在广义相对论中，当可供你选择的都是可替代的定义时，”有一个“唯一的选择”就很好。

丘成桐自 20 世纪 70 年代以来，一直致力于定义这些物理量。他的眼光更为长远。他说：“从数学到物理学的思想渗透可能需要很长时间。”他指出，即使角动量的新定义暂时还没有用上，尽管 LIGO 和 Virgo 的科学家“总是在计算一些近似的东西，但最终，厘清你试图近似的东西是什么，总是一件好事。”

编者按

Quanta 是西蒙斯基金会（Simons Foundation）为提高数学、物理与生命科学前沿研究进展的能见度，所出版但编辑独立之在线科普杂志。

本文转载自微信公众号“数理人文”，刊登于知名科普杂志 Quanta，原文标题为 Mass and angular momentum, left ambiguous by Einstein, get defined。