f(x) 是实系数多项式，z=a+bi 是 f(x)=0 的一个根，证明共轭 z'=a-bi 也是它的一个根

wufaxian

请看下图，n阶实系数方程必有共轭复数根么？

还是说n阶实系数方程可能有复数根，也可能没有复数根。但只要出现复数根就一定是成对出现，且共轭？

代数基本定理非数学专业的学生要求掌握么？以非数专业的课纲，能看懂代数基本定理的证明过程么？

liangchuxu

实系数多项式方程复根，共轭复根成对存在。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-7-7 19:50
实系数多项式方程复根，共轭复根成对存在。

谢谢回复。
直觉上有点难以接受双边取共轭这种解释。
简化问题为复数的模都是1。那么这些复数可以取成\(e^{i\theta}\)   他的共轭就是\(e^{-i\theta}\)   取n ，n-1，n-2 …… 各次方时就是把（n ，n-1，n-2 …… ）放到指数上。 前面再乘个实系数就变成n次方程。\(e^{i\theta}\)   代入等于0。然后\(e^{-i\theta}\) 代入也等于零？太巧了把。\(e^{i\theta}\)  的n次方 和\(e^{-i\theta}\)的n次方明显不相等，怎么前面乘了实系数就相等了。  

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-7-7 19:50
实系数多项式方程复根，共轭复根成对存在。

谢谢回复。
我刚才又考虑了一下。请看这样思考是否正确。当某个复数Z=a+bi 是实系数n次方程的根的时候（问题简化讨论，设这个根的模长是1），这个根可以看作某个复平面上角度固定为\(\theta\)  的复向量\(e^{i\theta}\)  这个复数Z的不同次方相等于对这个复向量初始角度\(\theta\) 乘以不同的倍数，因此等号左边多项式可以看作 ：不同模长数(对应各项不同实系数)  *   ”不同初始角度的模长为一的复向量“ 线性累加的向量和。这个向量和恰好指向复平面原点，也就是0

很自然，所有这些复向量取共轭，也就是沿各自水平线(平行于实数轴的直线) 镜面反转。 得到的n个复向量的和必定仍然指向复平面原点。也就是0。

请看以上思考是否正确。


但还是有个遗留问题：n阶实系数方程必有共轭复数根么？
还是说n阶实系数方程可能有复数根，也可能没有复数根？

luyuanhong

simpley

设f(x)=0的次数为 2，显然f(x)=(x-z)(x-z')=g(x)
f(x)r次数大于2，则用 g(x)去除f(x),f(x)=m(x)g(x)+r(x)
r(x)是余项，仍是实系数，次数小于2，不可能。
或为非0常数，将x=z代入f(x)=m(x)g(x)+r(x)，两边不等。
所以，r(x)=0.所以g(x)|f(x),f(x)必包含x-z'