三角形边长为 a,b,c，p=(a+b+c)/2，证明海伦公式：三角形面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

chenjiahao

关于海伦公式，我有些疑惑，想求\(p\ =\ \frac{a+b+c}{2}\)海伦公式的推导过程。

注：海伦公式为‘三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式’。
       如下：

\(p=\frac{a+b+c}{2}\)

\(S=\sqrt{p\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right)}\ \)

宇宙无理数

海伦公式的推导非常简单, 只需要使用面积定义和余弦定理即可. 海伦公式是个非常古老的公式, 我所见过的关于三角形面积的最新公式是汇心几何学(Intercenter Geometry V8版)中的三阶行列式表示的公式, 见汇心几何学(Intercenter Geometry V8版)中的定理Theorem 1.5.1.

luyuanhong

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2022-6-25 07:47
海伦公式的推导非常简单, 只需要使用面积定义和余弦定理即可. 海伦公式是个非常古老的公式, 我所见过的关于 ...

@Nicolas2050: 首先, 我不是汇心几何学的作者, 我只是对汇心几何学做个介绍而已. 汇心几何学的作者是张代远(Daiyuan Zhang), 你如果有何疑问建议你直接和作者联系. 另外, 你说的(高斯面积定理或叫鞋带定理)我不清楚, 请你给个原始出处. 还有, 欢迎交流数学, 拒绝不礼貌的语言.

波斯猫猫

题：三角形边长为 a,b,c，p=(a+b+c)/2，证明海伦公式：三角形面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 。

证  ∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab) ，∴(2ab sinC)^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2

=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=(a+b+c)(b+c+a-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)

=2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)=16p(p-a)(p-b)(p-c)，

即，(4S)^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)，或S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答也很好！已收藏。

chenjiahao

luyuanhong 发表于 2022-6-25 09:03

好的，谢谢老师！

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2022-6-25 10:38
@Nicolas2050: 首先, 我不是汇心几何学的作者, 我只是对汇心几何学做个介绍而已. 汇心几何学的作者是张 ...

@Nicolas2050: 请你把文件发到这里来吧, 这里可以上传文件. 这里是公开的数学论坛, 大家都可以看一看.

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2022-6-25 10:38
@Nicolas2050: 首先, 我不是汇心几何学的作者, 我只是对汇心几何学做个介绍而已. 汇心几何学的作者是张 ...

@Nicolas2050: 首先, 我感谢你的这句话“如你留下QQ我可以传给你”, 但是我暂时不会和你私聊, 理由后面会说明. 我们之间的对话是源于你的一个点评“那不就是高斯面积定理吗？或叫鞋带定理, 别乱把结论揽到自己名下.” 对于你的这种不友好点评我之前做过回复, 现在我想说以下几点.
1.        我认真学习过汇心几何学, 不敢说理解的十分深刻到位, 但是我敢说我基本上理解了汇心几何学的主要内容, 所以我还是有点发言权的. 汇心几何学(Intercenter Geometry V8版)的摘要中有这样一段话“The idea of Intercenter Geometry is that the geometric quantities on a plane will be expressed by the lengths of the three sides of a given triangle. The geometric quantities in space will be expressed by the lengths of the six edges of a given tetrahedron.” 其中文译文如下: “汇心几何学的理念如下: 某一平面上的几何量用某一个给定三角形的三条边的边长表示; 空间中的几何量用某一个给定四面体的六条棱的棱长表示.” 本人英语水平有限, 如果译文有不妥之处, 还请广大坛友不吝指教. 以上这段话表达了汇心几何学的核心思想. Nicolas2050先生(女士), 你对此有何评价? 我之前不知道有个“鞋带定理”, 可以说闻所未闻. 既然你提到了“鞋带定理”, 我便上网查了一下(网络的资料不一定权威), 看到的结果是: 计算三角形面积的“鞋带定理”是用坐标表示的, 但是汇心几何学“拒绝坐标”. 所以汇心几何学中的定理1.5.1 (Intercenter Geometry V8版)绝对不可能源于你说的“鞋带定理”, 甚至可以说两者有着本质的区别. 当然, 我还是要感谢你, 因为你让我了解了一个新的名词: 鞋带定理.
2.        Nicolas2050先生(女士), 我给出的信息不仅精确到了文献(Intercenter Geometry V8版), 而且精确到了定理的序号: Theorem 1.5.1, 而你至今没有给出一个精确的参考文献. 我指的是正式出版或在一些权威官方网站上发表的文献. 你提到的那个维基百科也太模糊了吧? 究竟原文是怎样论述的? 你发个截图也好呀. 你我之间这样的交流是不对等的, Nicolas2050先生(女士), 你认为呢?
3.        汇心几何学中的很多定理和公式都给出了人的名字, 例如有张代远, 欧拉, 赛瓦, 梅涅劳斯, 克列尔等人的姓名. 当然, 张代远(Daiyuan Zhang)的名字居多, 这或许是作者的一种写作风格. 如果你有异议, 可以直接和汇心几何学的作者取得联系, 如果你能拿出证据, 说明Theorem 1.5.1的结果前人已经有人做过, 你完全可以把证据直接提交给汇心几何学的作者, 他(她)也肯定会做出适当的回复. 我相信没有人敢公开篡改历史. 所以说你没有必要在这里和我叫板, Nicolas2050先生(女士), 我说的对吗?
4.        不可否认, 外国的数学家对数学的发展做出了不可磨灭的贡献, 例如伽罗瓦, 欧拉, 拉格朗日, 高斯等等. 历史不应该忘记他们, 我们同样不能忘记他们. 但是如果我们的同胞-中国人能够取得成果, 我们是不是应该更加高兴, 更加欢欣鼓舞呢? 我们是不是应该更多宣传中国人自己的成果呢? 作为中国人, 难道不希望看到更多的以中国人的名字命名的数学分支, 定理, 公式吗? Nicolas2050先生(女士), 你认为呢?
5.        数学是人类唯一的纯理性学科, 严谨, 精准, 深刻是数学最主要的特征. 所以讨论数学问题也应该严谨, 精准, 求实, 认真. 无论是自己发帖还是回复别人的帖子都应该有理, 有据, 用事实说话, 而不应该不假思索, 信口开河. 不假思索, 信口开河的言论很可能会导致很多错误, Nicolas2050先生(女士), 你是否认同?
6.        Nicolas2050先生(女士), 现在就来说明我暂时不会和你私聊的理由. 看了你的点评之后我也查询了你和其他一些坛友的互动聊天, 我要说的是我看到了一些很不文明的语言, 所以很抱歉, 我暂时不会和你私聊. 你如果有何见解可以在这里公开发表. 借此机会还想说一点, 我深信, 广大坛友都希望看到一个文明健康的交流场所, 这里应该是干净, 高雅的数学论坛, 不是泼妇打架的角斗场. 要说骂人, 谁还不会呢? Nicolas2050先生(女士), 你赞同我的观点吗?

dodonaomikiki

这个 Nico一道题目都不会作
整天车鸾丹
根本没有资格和水平说三道四！



还什么整天TWITTER,  YOUTUBE,   WIKI~~~扯东扯西
如果能找到相关资料，
至少还说明她有一定的找寻资料的水平！
而实际上，她也找不出来相关资料
一个劲的扯淡，有什么意思呢！
这难道就是尽扯丹?!




建议封禁和禁言！