[原创] 笛卡尔数学学术研究

shuxuestar

简介：

   

       勒内·笛卡尔1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了"普遍怀疑"的主张。黑格尔称他为"现代哲学之父"。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓"欧陆理性主义"哲学。堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为"近代科学的始祖"。

      近代数学家兼哲学家始祖笛卡尔, 出生在十六世纪末期法国的一个小镇。他年幼时体弱多病，因而常在家不出去外面玩。因为喜欢安静的性格，却养成了坚持看书做研究的好习惯。其数学素质也是从小养成的。这些是人所共知的，还有一些人所不知的被历史遗忘的伟大成就，我认为不能被后人忘记，在这详细论述笛卡尔的主要数学贡献。

从他的三个梦说起：
在第一个梦里，笛卡儿发现自己被狂暴的旋风卷向了空中，风的巨大力量使他不由自主地以左脚为轴快速旋转，与此同时，令他感到无尽恐惧的是随时会从空中摔下来。这时一位老人出现了，递给他一个国外出产的甜瓜。第二个梦也是一幅十分恐怖的画面，他被抓进了一个阴气森森的房间，房间里不时响起不祥的霹雳一般的巨大声音，在他身体周围还不断有到处飞溅的火花。第三个梦与前两个梦形成了鲜明的对比，呈现在笛卡儿面前的是一幅祥和静穆的画面，当他四处环顾时，发现这个房间里有一张桌子，桌子上有书时隐时现，这些书包括一部名为《诗人集成》（Corpus Poetarum）的诗歌选集和一部百科全书。他随手打开了那本诗歌选集翻到了其中一页，一眼看到的正是公元 4 世纪罗马诗人奥索尼乌斯（Ausonius）的一首诗。诗中写道：“在我生命中我应当走什么样的道路？”（Quod vitae sectabor iter？）此时，一个人神秘地从空气中闪现了出来，他引用了另一句诗：“是又不是（Estet non）。”笛卡儿想给他看看奥索尼乌斯的诗歌，但是整本书却消失在了虚空中。
他还做过一个梦：梦见找到了一个宝箱，又找到了宝箱的钥匙，打开了宝箱。 这个梦预示着他找到了数学的有用工具。

笛卡尔先生主要的学术贡献：他的著作几乎全部是在荷兰完成的。他在1634年写了《论世界》，总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。在1637年发表了《几何学》，1641年出版《形而上学的沉思》，1644年出版《哲学原理》等。他的著作在生前就遭到教会指责，死后又被列为禁书，但这并没有阻止他的思想的传播。笛卡尔不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，同时 又在物理学、生理学等领域提出许多创见，特别是在数学上创立了解析几何，从而打开 了近代数学的大门，在科学史上具有划时代的意义，被誉为“近代科学的始祖”。

笛卡尔的数学贡献

1. 发明直角坐标系
     据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何， 他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。


2.笛卡尔心形线 笛卡尔叶线
   笛卡尔心脏形,笛卡尔半立方叶线, 这些大家很熟悉。

3.笛卡尔卵形线
   笛卡尔卵形线是他在论几何一书中论述的一种曲线的方法及性质，后面将详细讲述。

4.笛卡尔数学符号 正多面体公式
   这些也是他做出的一些数学贡献，很少有人提及。

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        最近我又翻开了笛卡尔先生的著作 《论几何》 三百年前的数学家研究问题毫不逊色于今人，甚至还很聪明
几何一书中囊括了几乎所有笛卡尔的数学成就和贡献，现把目录列出，供数学家爱好者知悉，赏析。

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笛卡尔的几种卵形线几何作图


这个细线作图法是在椭圆作图的基础上进行了锥化而形成，

这种作图法形成的几种卵形线包含了典型的笛卡尔卵形（r1-+kr2=C）曲线。



此卵形线成面制作的透镜要比球面凸透镜更能汇集光线于一点

真正能将一色光汇聚一点的是现代的菲涅尔透镜，其形状在这不做介绍。

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笛卡尔卵形线，现代数学家研究的极少。 我拟在此帖详细进行研究，
利用现代数学工具完成笛卡尔先生未尽之志。
下面是从前我使用物理方法画出的笛卡尔卵形线，方法类似细线作图，但是计算机虚拟几乎不存在变形和不准确的问题。

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       笛卡尔方程的所有形式（数学百科），这些形式是后人科学家的研究，目的是化繁为简。



这些条目均在此，没有笛卡尔方程的解析式，也无参数方程。因为二元四次不缺次方程的复杂性，

造成研究和解读的困难。

后面将给出笛卡尔方程的解析式，若有诚意者可将解析式收纳于数学百科书中，供数学研究方便之用。

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笛卡尔方程:mr+-nr'=k   
笛卡尔卵形线方程为：mr+nr'=k；
变形简化为kr+r'=L; L>0; （k为向径权比系数，L为向径加权和长）
当一个焦点在原点，笛卡尔方程变成:
k√(x^2+y^2)+√(（x+c）^2+y^2) =L（c为焦距； L为向径加权和长）；右焦点在原点
k√(x^2+y^2)+√(（x-c）^2+y^2) =L（c为焦距； L为向径加权和长）；左焦点在原点

当焦点对称原点在x向上方程为：
k√（(x+c/2）^2+y^2)+√(（x-c/2）^2+y^2) =L  （k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种）

因为曲线的平移或旋转90度不改变曲线的几何性质 故只研究其中之一

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当焦点对称原点在x向上方程为：
k√（(x+c/2）^2+y^2)+√(（x-c/2）^2+y^2) =L  （k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种）
简化：
k√（(x+c/2）^2+y^2)+√(（x-c/2）^2+y^2) =L
[k√（(x+c/2）^2+y^2)]^2=[ L- √(（x-c/2）^2+y^2)]^2  ;
化简：
16*(k^4-2*k^2+1)*y^4
+
8* ((4*k^4-8*k^2+4)*x^2+(4*c*k^4-4*c)*x+c^2*k^4+((-2*c^2)-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2)*y^2
+
16*(k^4-2*k^2+1)*x^4
+
16*(2*c*k^4-2*c)*x^3
+
8*(3*c^2*k^4+(2*c^2-4*L^2)*k^2+3*c^2-4*L^2)*x^2
+
8* (c^3*k^4-4*L^2*c*k^2-c^3+4*L^2*c)*x
+
(c^4*k^4+((-2*c^4)-8*L^2*c^2)*k^2+c^4-8*L^2*c^2+16*L^4)
=0;

标准式为:

观察为x的不缺次二元四次方程

解y的偶数次四次方程：
16*(k^4-2*k^2+1)*y^4
+
8* ((4*k^4-8*k^2+4)*x^2+(4*c*k^4-4*c)*x+c^2*k^4+((-2*c^2)-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2)*y^2
+
16*(k^4-2*k^2+1)*x^4
+
16*(2*c*k^4-2*c)*x^3
+
8*(3*c^2*k^4+(2*c^2-4*L^2)*k^2+3*c^2-4*L^2)*x^2
+
8* (c^3*k^4-4*L^2*c*k^2-c^3+4*L^2*c)*x
+
(c^4*k^4+((-2*c^4)-8*L^2*c^2)*k^2+c^4-8*L^2*c^2+16*L^4)
=0;

令：
a'=16*(k^4-2*k^2+1);
b'=8* ((4*k^4-8*k^2+4)*x^2+(4*c*k^4-4*c)*x+c^2*k^4+((-2*c^2)-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2);
c'=16*(k^4-2*k^2+1)*x^4
    +16*(2*c*k^4-2*c)*x^3
    +8*(3*c^2*k^4+(2*c^2-4*L^2)*k^2+3*c^2-4*L^2)*x^2
    +8* (c^3*k^4-4*L^2*c*k^2-c^3+4*L^2*c)*x
    +(c^4*k^4+((-2*c^4)-8*L^2*c^2)*k^2+c^4-8*L^2*c^2+16*L^4);

令：y^2=u； x 为已知数 可解u的一元二次方程算得:
u=y^2=(-b'+-√(b'^2-4a'c'))/2a'
y=+-√u;   

f(x)  算得..........................  

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上面方程简化为：
16*(k^2-1)^2*y^4+8*(4*(k^2-1)^2*x^2+4*c*(k^4-1)*x+c^2*k^4+(-2*c^2-4*L^2)*k^2+c^2-4*L^2)*y^2+16*(k^2-1)^2*x^4+32*c*(k^4-1)*x^3+8*(3*c^2*(k^4+1)+2*(c^2-2*L^2)*k^2-4*L^2)*x^2+8*c*(k-1)^2*(c^2*(k^2+1)-4*L^2)*x+((c*k-c)^2-4*L^2)*((c*k+c)^2-4*L^2)=0;

这个简化式还是超过了计算机计算能力 ...... 几种计算机程序都频频出错，解不了这个方程。

为继续简化方程，算一个焦点在原点的方程（曲线平移 几何性质不变）

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左焦点在原点在x向上笛卡尔卵形线方程为：
k√(x^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=L (k变换r' 方程形式及意义不变故只有一种)
k*sqrt(x^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=L;
简化：
k*sqrt(x^2+y^2)=L-sqrt((x-c)^2+y^2);
(k*sqrt(x^2+y^2))^2=(L-sqrt((x-c)^2+y^2))^2;
(k*sqrt(x^2+y^2))^2-(L-sqrt((x-c)^2+y^2))^2=0;
2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2)+(k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2=0;
(2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2=(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2；
(2*L*sqrt(y^2+x^2-2*c*x+c^2))^2-(-((k^2-1)*y^2+(k^2-1)*x^2+2*c*x-c^2-L^2))^2=0;

得偶次数y四次方程:
((-k^4)+2*k^2-1)*y^4
+
(((-2*k^4)+4*k^2-2)*x^2+(4*c-4*c*k^2)*x+(2*c^2+2*L^2)*k^2-2*c^2+2*L^2)*y^2
+
((-k^4)+2*k^2-1)*x^4+(4*c-4*c*k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+(4*c^3-4*L^2*c)*x-c^4+2*L^2*c^2-L^4
=0;

比前面对称式简化不少...

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继续进行简化：

((-k^4)+2*k^2-1)*y^4
+
(((-2*k^4)+4*k^2-2)*x^2+(4*c-4*c*k^2)*x+(2*c^2+2*L^2)*k^2-2*c^2+2*L^2)*y^2
+
((-k^4)+2*k^2-1)*x^4+(4*c-4*c*k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+(4*c^3-4*L^2*c)*x-c^4+2*L^2*c^2-L^4
=0;

-(k^2-1)^2*y^4
-
2*( (k^4-2*k^2+1)*x^2+(2*c*k^2-2*c)*x+((-c^2)-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2
+
(-(k^2-1)^2)*x^4+4*c*(1-k^2)*x^3+((2*c^2+2*L^2)*k^2-6*c^2+2*L^2)*x^2+4*c*(c^2-L^2)*x-(L^2-c^2)^2
=0;

(k^2-1)^2*y^4
+
2*( (k^2-1)^2*x^2+2*c*(k^2-1)*x+(-c^2-L^2)*k^2+c^2-L^2 )*y^2
+
(k^2-1)^2*x^4+4*c*(k^2-1)*x^3-2*((c^2+L^2)*k^2-3*c^2+L^2 )*x^2-4*c*(c^2-L^2)*x+(L^2-c^2)^2
=0;
代入计算机求解............

y1 = -sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y2 = sqrt(2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2)-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y3= -sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

y4 = sqrt((-2*L*k*sqrt((-2*c*k^2*x)+2*c*x+c^2*k^2-c^2+L^2))-k^4*x^2+2*k^2*x^2-x^2-2*c*k^2*x+2*c*x+c^2*k^2+L^2*k^2-c^2+L^2)/(k^2-1)

总算解出来了 迪卡尔方程的解是非常艰难的 （数学书中没有给出 ）这个解就可以应用了......