已知 a,b 为实数，且 a+b=13 ，试求 2^a+4^b 的最小值

wintex

請問數學

luyuanhong

波斯猫猫

思路：由a+b=13有，2^a+4^b=2^a+2^(2b)=2^(13-b)+2^(2b)=2^13/2^b+2^(2b)

=2^12/2^b+2^12/2^b+2^(2b)≥3（2^24）^(1/3)=768。

故2^a+4^b≥768（当且仅当a=9，b=4时等号成立）。

luyuanhong

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王守恩

\(已知\ a,b\ 为实数,\ 且\ a+b=13,\ 试求\ 2^a+4^b\ 的最小值\)

\(我们利用\ 1=\cos^2(a)+\sin^2(a),\ 先从小数入手。\)
\(a+b=1,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=3\)
\(a+b=4,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=12\)
\(a+b=7,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=48\)
\(a+b=10,\ 2^a+4^b\ 的最小值=192\)
\(a+b=13,\ 2^a+4^b\ 的最小值=768\)
\(......\)

\(一般地，可以有：\)
\(a+b=3k+1,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=3*4^k\)

\(更一般地，可以有：\)
\(a+b=n,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值(四舍五入)是这样一串数\)
\(1,2,3,5,8,12,19,30,48,76,121,192,305,484,768,....\)
可惜这串数在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到。

hannah8201

这可是联考综合题的第一题啊。 我发现很多题目都是老题 多刷点自招试题 基本上就可以搞定了

王守恩

王守恩 发表于 2022-5-26 08:42
\(已知\ a,b\ 为实数,\ 且\ a+b=13,\ 试求\ 2^a+4^b\ 的最小值\)

\(我们利用\ 1=\cos^2(a)+\sin^2(a),\  ...

\(已知\ a,b\ 为实数,\ 且\ a+b=13,\ 试求\ 2^a+4^b\ 的最小值\)

\(我们利用\ 1=\cos^2(a)+\sin^2(a),\ 先从小数入手。\)
\(a+b=1,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=2^1+4^0=3\)
\(a+b=4,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=2^3+4^1=12\)
\(a+b=7,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=2^5+4^2=48\)
\(a+b=10,\ 2^a+4^b\ 的最小值=2^7+4^3=192\)
\(a+b=13,\ 2^a+4^b\ 的最小值=2^9+4^4=768\)
\(......\)

\(一般地，可以有：\)
\(a+b=3k+1,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=3*4^k\)

\(一次到位，可以有：\)
\(a+b=R,\ \ 2^a+4^b\ 的最小值=3*4^{(R-1)/3}\)

王守恩

hannah8201 发表于 2022-5-27 04:18
这可是联考综合题的第一题啊。 我发现很多题目都是老题 多刷点自招试题 基本上就可以搞定了

可以有吗？谢谢！

\(已知\ a,b,c\ 为实数，且\ a+b+c=14 ，试求\ 2^a+3^b+4^c\ 的最小值\)