求通项公式

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-4-30 12:53
{3, 07, 017, 043, 113, 307, 857, 2443, 7073, 20707, 61097, 181243, 539633, 1610707, 4815737...
\[a_ ...

边长和面积都是整数的三角形，面积一定是6的倍数。
a(01)=1, 01*6={5,4,3}
a(02)=2, 02*6={6,5,5}={8,5,5}
a(03)=0, 03*6
a(04)=2, 04*6={10,8,6}={15,13,4}
a(05)=1, 05*6={13,12,5}
a(06)=2, 06*6={17,10,9}={26,25,3}
a(07)=1, 07*6={20,15,7}
a(08)=2, 08*6={12,10,10}={16,10,10}
a(09)=1, 09*6={15,12,9}
a(10)=4, 10*6={13,13,10}={17,15,8}={24,13,13}={29,25,6}
a(11)=1, 11*6={20,13,11}
a(12)=1, 12*6={30,29,5}
a(13)=0, 13*6
a(14)=4, 14*6={15,14,13}={21,17,10}={25,24,7}={35,29,8}
......
得到这样一串数:1,2,0,2,1,1,2,2,1,4,1,1,0,4,1,2,0,2,1,4,......速度太慢了！
Table[Solve[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/4!==n,40>a≥b≥c>a-b},{a,b,c},Integers],{n,1,20}]

王守恩

1. Select[Tally@Sort[Select[Flatten[Table[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)
   
2. (a+b-c)]/4!},{c,2,40},{b,c,40},{a,b,b+c}]],#>0&&IntegerQ[#]&]],#[[1]]<21&]

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{{1,1},{2,2},{4,2},{5,1},{6,2},{7,1},{8,2},{9,1},{10,4},{11,1},{12,1},{14,4},{15,1},{16,2},{18,2},{19,1},{20,4}}

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-4-30 12:53
{3, 07, 017, 043, 113, 307, 857, 2443, 7073, 20707, 61097, 181243, 539633, 1610707, 4815737...
\[a_ ...

边长和面积都是整数的三角形，面积一定是6的倍数。
a(01)=1, 01*6={5,4,3}
a(02)=2, 02*6={6,5,5}={8,5,5}
a(03)=0, 03*6
a(04)=2, 04*6={10,8,6}={15,13,4}
a(05)=1, 05*6={13,12,5}
a(06)=2, 06*6={17,10,9}={26,25,3}
a(07)=1, 07*6={20,15,7}
a(08)=2, 08*6={12,10,10}={16,10,10}
a(09)=1, 09*6={15,12,9}
a(10)=4, 10*6={13,13,10}={17,15,8}={24,13,13}={29,25,6}
a(11)=1, 11*6={20,13,11}
a(12)=1, 12*6={30,29,5}
a(13)=0, 13*6
a(14)=4, 14*6={15,14,13}={21,17,10}={25,24,7}={35,29,8}
......
                 假如我们想写成: 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4,......
嗨！OEIS还真是有A051585:1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 4,......
a(n)=sum(z=sqrtint(sqrtint(192*n^2)-1)+1, sqrtint(9*(64*n^2+5)\20), sum(y=z\2+1, z,
my(t=(y*z)^2-(12*n)^2, x); if(issquare(t, &t), (issquare(y^2+z^2-2*t, &x) && x<=y)
+ (t && issquare(y^2+z^2+2*t, &x) && x<=y), 0)))
有公式，可惜我的计算软件出不来。

王守恩

{1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 1, 4, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 5, 3, 0, 0, 1, 5, 0,,,,,

1. x=Select[Flatten[Table[{Sqrt[(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)]/24},
   
2. {c,2,40},{b,c,40},{a,b,b+c}]],#<21&];Array[Count[x,#]&,20]

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王守恩

4排本来是相连的，为了说明规律，才断成4排。  
1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 3, 3, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
......

王守恩

R(n)表示正整数n除以2,3,4,5,6,7,8的余数之和,
若要求R(n)=R(n-1),  则n是这样一串数:
7, 10, 49, 50, 77, 91, 110, 119, 130, 133, 161, 170, 190, 203, 217,
可以有通项公式吗？谢谢！

Treenewbee

1. Select[Range@500, Sum[Mod[#, r], {r, 8}] == Sum[Mod[# - 1, r], {r, 8}] &]

复制代码

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-9-29 02:40

拓展。

1,R(n)表示正整数n除以2,3,4,5,6,7,8,9,10的余数之和,
若要求R(n)=R(n-1),  则n是这样一串数:
Select[Range@4000,Sum[Mod[#,k]-Mod[#-1,k],{k,10}]==0&]

2,R(n)表示正整数n除以2,3,4,5,6,7,8,9,10的余数之和,
若要求R(n)=R(n-a),  则n是这样一串数:
Select[Range@4000,Sum[Mod[#,k]-Mod[#-a,k],{k,10}]==0&]

3,R(n)表示正整数n除以2,3,4,5,6,7,8,9,10的余数之和,
若要求R(n)=R(n-1)+b,  则n是这样一串数:
Select[Range@4000,Sum[Mod[#,k]-Mod[#-1,k],{k,10}]==b&]

4,R(n)表示正整数n除以c,(c+1),...,(d-1),d的余数之和,
若要求R(n)=R(n-1),  则n是这样一串数:
Select[Range@4000,Sum[Mod[#,k]-Mod[#-1,k],{k,c,d}]==0&]
......

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-9-29 02:40

1,2,3,1,1,2,2,3,1,1,1,2,2,2,3,1,1,1,1,2,2,2,2,3,......

1,2,3,4,1,1,2,2,3,3,4,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,......

1,2,3,4,5,1,1,2,2,3,3,4,4,5,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,......

1,2,3,4,5,6,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,......

求通项公式。

Treenewbee

https://www.zhihu.com/question/627090694

\[\frac{73}{24}-\frac{3}{2} \left(\text{sgn}\left(\sin \left(2 \pi  \sqrt{n+1}\right)\right)+\frac{1}{6}\right)^2\]

\[a_n=1+\left\lfloor \frac{n}{\lfloor\sqrt{n}\rfloor} \right\rfloor-\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor\]

\[a_n=\left\lfloor 2 \sqrt{n+1}\right\rfloor -2 \left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor +1\]