k 为大于 1 整数，a(0)＞0，a(n+1)=a(n)+1/a(n)^(1/k)，求 lim(n→∞)a(n)^(k+1)/n^k

cgl_74

无穷大极限求解：
在网上看到的一道题，我觉得比较有代表性，分享一下。有兴趣的同学做一下，分享下解法，说不定总结出来后可以形成类似题目通用的解法（我了解一种解法）。

Future_maths

luyuanhong

楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

cgl_74

Future_maths 发表于 2021-11-26 14:04

感谢参与讨论！估计这题也只有少数人才能讨论了。
我理解stolz公式应用时，那个极限L，应该是与An，Bn解耦的吧。L要么是常数，要么与An，Bn无关。可以得出极限为0，但是得不出极限为1/an。
个人看法，可以继续讨论。

cgl_74

调和级数是无穷大，但是它的无穷大的阶是多少呢？

cgl_74

用类似的方法寻求原题的解：

cgl_74

附上我看到的原帖；上面有严谨的解答。我把解答也截屏下来供参考。
https://www.zhihu.com/column/p/413979074

这个题目也算有一定难度的，特别是以前没接触过类似题目。
关键是，我觉得在n趋于无穷大时，把An+1 - An视作An导数的概念非常有用。我试过各种递推公式，都能完美求出等价无穷大。我想我能证明它的。

cgl_74

cgl_74 发表于 2021-11-29 21:19
附上我看到的原帖；上面有严谨的解答。我把解答也截屏下来供参考。
https://www.zhihu.com/column/p/41397 ...

第一行那个不等式，也是依靠y=1/x^(1/k)这种下凹减函数的性质，用积分和面积的比较来做的。x选取a1,a2,...an值。每一小块面积的底是am+1-am，高就是am^(1/k)

數海泛舟

cgl_74思考的好

luyuanhong

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