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从初始条件 y(0)=3 ,y'(0)=0 出发,求解二阶微分方程 y"=-9y

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发表于 2021-11-25 03:49 | 显示全部楼层 |阅读模式


请看上图第一问,如何得到cos3t和sin3t 的?按照矩阵两个复特征值去求解有如下特征值和特征向量对应关系。一旦代入t=0,三角函数就消失了,所以如何得到cos3t和sin3t 的?
\(\begin{aligned}\lambda _{1}=3i\\
\begin{bmatrix}
1 \\
3i
\end{bmatrix}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\lambda _{2}=-3i\\
\begin{bmatrix}
1 \\
-3i
\end{bmatrix}\end{aligned}\)
代入初值则有
\(\begin{aligned}C_{1}e^{3it}\begin{bmatrix}
1 \\
3i
\end{bmatrix}+C_{2}e^{-3it}\begin{bmatrix}
1 \\
-3i
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
0
\end{bmatrix}\\
C_{1}\left( \cos 3t+i\sin 3t\right) \cdot 1+C_{2}\left( \cos 3t-isn3t\right) \cdot 1=3\\
t=0\\
C_{1}\left( 1\right) \cdot 1+C_{2}\left( 1\right) \cdot 1=3\\
C_{1}\left( 3i\right) +C_{2}\left( -3i\right) =0\end{aligned}\)

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发表于 2021-11-26 18:40 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-11-27 10:24 | 显示全部楼层

这题第一问“哪一个解是从y(0)=3 与y‘(0)=0出发”的意思是根据初值确定c1,c2,并写出通解的形式。是吧
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