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题:M,A,B 是抛物线 L:4x=y^2 上相异三点,已知 MA⊥MB,MA=MB,求 ΔMAB 面积S的最小值 。
思路:设M(t^2/4,t),A(a^2/4,a),B(b^2/4,b)且a≠b,
由MA⊥MB,有(t+a)(t+b)=-16,即t+b=-16/(t+a)。(1)
由MA=MB,有(t^2-a^2)^2+16(t-a)^2=(t^2-b^2)^2+16(t-b)^2。(2)
(1)代入(2)化简整理得(t^2-a^2)^2=16(t-b)^2 。(3)
由(3)得2t=a+b,即t+b=3t-a。代入(1)有a^2-2at=t^2+16,b^2-2bt=t^2+16(对称性)。(4)
故2S=(t^2/4-a^2/4)^2+(t-a)^2,
即32S=(t^2-a^2)^2+16(t-a)^2=16(t-a)^2+16(t-b)^2=16(t^2-2at+a^2+t^2-2bt+b^2)
或2S=t^2-2at+a^2+t^2-2bt+b^2=4t^2+32,即S≥16。
此时t=0,显然M(0,0),A(4,4),B(4,-4)或M(0,0),A(4,-4),B(4,4)。 |
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