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M,A,B 是抛物线 L:4x=y^2 上相异三点,已知 MA⊥MB,MA=MB,求 ΔMAB 面积的最小值

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发表于 2021-11-21 18:15 | 显示全部楼层 |阅读模式


請問2的部份

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发表于 2021-11-23 01:43 | 显示全部楼层
第一问:平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹叫抛物线,所以P的轨迹是是抛物线
知道了P的轨迹是抛物线之后,第二问有时间再看看
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发表于 2021-11-26 00:22 | 显示全部楼层


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謝謝陸老師  发表于 2021-11-27 17:57
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发表于 2021-11-26 15:05 | 显示全部楼层
题:M,A,B 是抛物线 L:4x=y^2 上相异三点,已知 MA⊥MB,MA=MB,求 ΔMAB 面积S的最小值 。

思路:设M(t^2/4,t),A(a^2/4,a),B(b^2/4,b)且a≠b,

由MA⊥MB,有(t+a)(t+b)=-16,即t+b=-16/(t+a)。(1)

由MA=MB,有(t^2-a^2)^2+16(t-a)^2=(t^2-b^2)^2+16(t-b)^2。(2)

(1)代入(2)化简整理得(t^2-a^2)^2=16(t-b)^2 。(3)

由(3)得2t=a+b,即t+b=3t-a。代入(1)有a^2-2at=t^2+16,b^2-2bt=t^2+16(对称性)。(4)

故2S=(t^2/4-a^2/4)^2+(t-a)^2,

即32S=(t^2-a^2)^2+16(t-a)^2=16(t-a)^2+16(t-b)^2=16(t^2-2at+a^2+t^2-2bt+b^2)

或2S=t^2-2at+a^2+t^2-2bt+b^2=4t^2+32,即S≥16。

此时t=0,显然M(0,0),A(4,4),B(4,-4)或M(0,0),A(4,-4),B(4,4)。

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謝謝老師  发表于 2021-11-27 22:43
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发表于 2021-11-26 17:10 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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发表于 2021-11-27 14:15 | 显示全部楼层
抛物线 L:4x=y^2或许只有一个内接等要直角三角形。

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謝謝老師  发表于 2021-11-28 16:45
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发表于 2021-11-27 15:11 | 显示全部楼层
可以有多个内接等腰直角三角形,见上面第3楼的帖子。
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发表于 2021-11-27 21:30 | 显示全部楼层
r=-4/(cos2θsinθ),当θ∈(0,π/4]时,r=?
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发表于 2021-11-27 23:34 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-11-27 21:30
r=-4/(cos2θsinθ),当θ∈(0,π/4]时,r=?


我原来的解答,考虑得不够全面,现已在第 3 楼帖子中作了补充。

应该有  r=4/(cos2θsinθ)(图 1)和   r=-4/(cos2θsinθ)(图 2)两种情形。

当 0<θ<π/4 时,属于 图 1 的情形,这时  r=4/(cos2θsinθ) 。

还可以看出,当 θ=π/4 时,符合题意的内接等腰直角三角形其实是不可能作出的。

从公式来看,当 θ→π/4 时, r→∞ ,也说明了这一点。

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謝謝老師  发表于 2021-11-28 16:45
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