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已知 A(-1,0),B(1,0),y=k(x+2) 与 y=x^2-1 交于 C,D,求 AC 与 BD 交点 (p,q) 的轨迹

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发表于 2021-11-18 01:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知A(-1,0), B(1,0), k是不为0的实数.
直线\(y=k\left( x+2\right)\)和曲线\(y=x^2-1\)相交于两个不同的点,设交点为C和D(C的x坐标<D的x坐标).
设直线AC与直线BD的交点坐标为(p, q).
求p和q之间的关系式和p的范围.
发表于 2021-11-18 09:44 | 显示全部楼层
那簡單,一元二次方程,有解,判斷條件,初中程度知識
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 楼主| 发表于 2021-11-19 19:23 | 显示全部楼层
如果我先把抛物线和直线的交点的x坐标设为α和β,
α+β=k,αβ=-2k-1
此外,由于直线AC和BD分别通过p和q,
q=(α-1)(p+1),q=(β+1)(p-1)
到为止我们已经设置了.
我们如何从这里得到只有p和q的关系式?
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发表于 2021-11-26 12:42 | 显示全部楼层


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謝謝老師  发表于 2021-11-27 17:03
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 楼主| 发表于 2021-11-27 01:17 | 显示全部楼层
谢谢老师.这是比我预期的更困难的问题.
我有疑问.当p=0,k=0,即A和C,B和D一致,即由于直线AC和BD不存在,(p,q)不存在.
当p=-2±√3,直线与曲线相切,它不相交于两点.
所以,p的范围不是(-2-√3, -1)∪(-2+√3, 0)∪(0, 1)吗?
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发表于 2021-11-27 11:28 | 显示全部楼层
谢谢楼上 fogking 指出!

我原来的解答中,没有注意到“k≠0”这一已知条件,答案中确实有遗漏,现已更正。
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