证明 Q(√2,√3) = { a+b√2+c√3+d√6｜a,b,c,d∈Q } 构成一个数域

NAGASH1

如图

NAGASH1

有人吗dddddd

luyuanhong

题 证明 Q(√2,√3) = { a+b√2+c√3+d√6｜a,b,c,d∈Q } 构成一个数域。

解  下面验证一下，在 Q(√2,√3) 中，乘法运算是封闭的：

设 x =a+b√2+c√3+d√6 ，y = e+f√2+g√3+h√6 ∈ Q(√2,√3)，则有

xy = (a+b√2+c√3+d√6)(e+f√2+g√3+h√6)

    = ae+af√2+ag√3+ah√6+be√2+bf√4+bg√6+bh√12

      +ce√3+cf√6+cg√9+ch√18+de√6+df√12+dg√18+dh√36

    = ae+af√2+ag√3+ah√6+be√2+2bf+bg√6+2bh√3

      +ce√3+cf√6+3cg+3ch√2+de√6+2df√3+3dg√2+6dh

    = (ae+2bf+3cg+6dh)+(af+be+3ch+3dg)√2

      +(ag+2bh+ce+2df)√3+(ah+bg+cf+de)√6 ∈ Q(√2,√3) 。

域的定义中，其他各条性质，也都可以这样一一验证，我就不写了，留给你自己做吧。

uk702

核心是证明 1/(a+b√2+c√3+d√6) 依然是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

不妨先拿 1/(√2+√3+√6) 开刀， 使用知乎 /question/23150321 提供的方法，
ToRadicals[RootReduce[1/(Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[6])]]
= \( \frac{1}{23} \left(7 \sqrt{2}+\sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)}-12\right) \)
似并不是 a+b√2+c√3+d√6 的形式。

第一步就卡壳了。

Anyone 有高招？在线呼唤 e 老师。


补注：经数学研发论坛的 hujunhua 老师提醒，\( \sqrt{3 \left(27-10 \sqrt{2}\right)} = 5\sqrt{3} - \sqrt{6} \)

uk702

注意到
\[
\frac{1}{a+b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}}  \\
= \frac{-(-a^3 + 2 a b^2 + 3 a c^2 - 12 b c d + 6 a d^2)}{(a^4 - 4 a^2 b^2 + 4 b^4 - 6 a^2 c^2 - 12 b^2 c^2 +  9 c^4 + 48 a b c d - 12 a^2 d^2 - 24 b^2 d^2 - 36 c^2 d^2 + 36 d^4)}  \\
+ \frac{a^2 b - 2 b^3 + 3 b c^2 - 6 a c d + 6 b d^2}{a^4 - 4 a^2 b^2 + 4 b^4 - 6 a^2 c^2 - 12 b^2 c^2 + 9 c^4 + 48 a b c d - 12 a^2 d^2 - 24 b^2 d^2 - 36 c^2 d^2 + 36 d^4} \sqrt{2} \\
+ \frac{a^2 c + 2 b^2 c - 3 c^3 - 4 a b d + 6 c d^2}{a^4 - 4 a^2 b^2 + 4 b^4 - 6 a^2 c^2 - 12 b^2 c^2 + 9 c^4 + 48 a b c d - 12 a^2 d^2 - 24 b^2 d^2 - 36 c^2 d^2 + 36 d^4} \sqrt{3} \\
+ \frac{-2 a b c + a^2 d + 2 b^2 d + 3 c^2 d - 6 d^3}{a^4 - 4 a^2 b^2 + 4 b^4 - 6 a^2 c^2 - 12 b^2 c^2 + 9 c^4 + 48 a b c d - 12 a^2 d^2 - 24 b^2 d^2 - 36 c^2 d^2 + 36 d^4} \sqrt{6}
\]

故命题得证（不知道有没有抄错）。

uk702

不知道有没有其它神级的证法，比如说，把所有 u+v√2+w√3+s√6 形式的数排成一排，然后各自乘上 a+b√2+c√3+d√6，再证明乘出的结果依旧无重无漏地排成一排。

NAGASH1

謝謝大家的回覆 我先看看！