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P(x,x,x) 和 Q(y,3y,-1) 是分别在空间两条异面直线上的两点,求 x,y 使 PQ^2 达到最小

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发表于 2021-10-14 08:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
点 P = (x, x, x)与 Q = (y, 3y, -1)在空间中的两条不相交的直线 上,选择 x 与 y 极小化距离平方||P - Q||\(^{2 }\) ,求出x,y的值。

用偏微分的方法:
f=(x-y)\(^{2 }\) + (x-3y)\(^{2 }\)  + (x-1)\(^{2 }\)

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta x}\)=2(x-y)+2(x-3y)+2(x-1)----->6x-8y=2

\(\frac{\vartheta f}{\vartheta y}\)=2(x-y)+2(x-3y)*3+0------->8x-20y=0

由上求偏导,可以快速的得到线性方程组,下面解线性方程组

由第二个方程可知x=2.5y 代入第一个方程

y=2/7  x=5/7

但是求出来的点却不在两直线最短连线的交点上。我隐约觉得我建立的方程f丢失了 P要在满足(x,x,x) 条件的直线上这个约束条件。但也不确定。不知道上述求解过程错在了哪里?


另外,线性代数根据给出的一组数据点通过建立方程A\(\hat{ x}\)=b  ,通过b向A空间投影的方式,可以找到线性方程组最优系数向量\(\hat{ x}\),使得A\(\hat{ x}\)=p成立,其中p是b在A列空间中的投影。但是针对上面这种没有数据点的最优解问题,该方法是否可以胜任?求老师指教。

下图是geogebra中建立的方程3D图。可以看到y=2/7  x=5/7确实不在图形的最低点上!


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发表于 2021-10-15 00:44 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-10-15 07:28 | 显示全部楼层


谢谢lu老师的详细解答,请问验证部分\(\overrightarrow{q }\)=(1,3,0)是如何得到的?
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 楼主| 发表于 2021-10-15 07:31 | 显示全部楼层
用投影法求极值(如本题中的最小值)。关键是要将问题转化成线性方程组。并将方程组转化成系数矩阵A,b!!
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发表于 2021-10-15 08:24 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2021-10-15 07:28
谢谢lu老师的详细解答,请问验证部分\(\overrightarrow{q }\)=(1,3,0)是如何得到的?

就是看 Q(y,3y,-1) 表达式中,变量 y 的系数是什么。

可以看出,变量 y 的系数是 1,3,0 ,所以方向向量是 q=(1,3,0) 。
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 楼主| 发表于 2021-10-15 08:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 wufaxian 于 2021-10-15 09:01 编辑
luyuanhong 发表于 2021-10-15 08:24
就是看 Q(y,3y,-1) 表达式中,变量 y 的系数是什么。

可以看出,变量 y 的系数是 1,3,0 ,所以方向向 ...


谢谢lu老师的回复。我刚刚又重新看了一遍答案线性方程组部分的求解过程。我发现有一个地方还没有理解透。原题目是求两个未知向量 P = (x, x, x)Q = (y, 3y, -1)在空间的最短距离。通过构建线性方程组,将问题转化为,求向量b(0,0,1)与 两个列向量(1,1,1)(-1,-3,0)某种线性组合得到的向量p 之间距离最短的问题。而原来的向量P Q反而消失不见了。


特别是在构建线性方程组时。
\(\begin{bmatrix}
1&-1\\
1&-3\\
1&0\\
\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}
0\\
0\\
-1
\end{bmatrix}\)
的过程中,特别是等号右侧向量的两个0不好理解。原问题本来就是不知道P Q之间最短距离是多少?通过上面方程直接就将PQ相减得到的向量b的前两个单元写成0了。似乎对未知问题(P Q相减会得到什么?)直接给出了答案。为什么会这样?应该如何里解?
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