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欧几里得原本对古希腊数学的影响

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发表于 2021-10-13 18:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
欧几里得原本对古希腊数学的影响

作者 | 刘瑞祥

本文仅涉及以下两部著作,至于其它的,囿于资料的匮乏,笔者无能为力了。
  
一、《阿基米德全集》,T.L.希斯编,朱恩宽、李文铭等译,叶彦润、常心怡等校,陕西科学技术出版社1998年出版



这本书分为两部分:第一部分是希斯撰写的八篇导论和部分注解,第二部分是阿基米德的著作,二者分别排列页码。以下只是阿基米德著作中的部分至为明显的例子,也就是在原著和注解中明确提到出自《几何原本》(以下简称《原本》)的地方,仅涉及到“论球与圆柱I”部分,而那些任何问题都不可能绕开的内容,比如全等、比例论、穷竭法等等,不再举例,《全集》对《原本》的发展也不再举例。

1、命题5,提到对应边的二次比等于多边形面积之比,因为它们是相似的。这里有个注解[5],指的是这一结论出自[Eucl,XII,20](《原本》第XII卷第20命题)却错了。查《原本》第XII卷只有18个命题,这一注解应更正为[Eucl,VI,20]将两个相似多边形分成同样多个相似三角形,且对应三角形的比如同原形的比;又原多边形与多边形的比如同对应边与对应边的二次比。(相似三角形面积比等于对应边的二次方之比,括号内的文字是笔者加的,下同)我不知道这个地方是希斯的英文版就错了,还是中文版错了的。

2、命题6:给定一圆或一扇形,及一个确定的面积,则可作圆或扇形的内接正多边形,并使其边数不断增加,则可得圆或扇形剩下的面积小于给定的面积,这是在[Eucl,XII,2]中被证明了的。这里提到的《原本》命题是圆与圆之比如同直径上正方形之比,在证明过程中曾提到阿基米德引用的部分。

3、命题17前的引理:这里一共列举了5个于几何体体积的引理,包括等高的圆锥或等高的圆柱之比如同它们底的比(引理1,[Eucl,XII,11]);有等底的圆锥或圆柱之比如同它们的高之比(引理1,[Eucl,XII,14]);若一个圆柱被平行于它的底面的平面所截,则截得的圆柱比圆柱如同轴比轴(《全集》引理2,[Eucl,XII,13]);在相等的圆锥或圆柱中,其底与高成互反比例;又若圆锥或圆柱的底与高成互反比例,则二者相等(《全集》引理4,[Eucl,XII,15]);相似圆锥或相似圆柱之比如同它们底的直径的三次比(《全集》引理5,[Eucl,XII,12]).其中引理3是有同底的两圆锥之比等于其底上有等高的圆柱之比,没有直接对应的《原本》命题。《全集》中说到:所有这些命题已在早期的几何中被证明了,希斯给出了这些引理的出处。

4、命题34推论:以球的大圆为底,以球的直径为高的圆柱是球的3/2,这里用到了[Eucl,XII,10]圆柱是与它同底同高圆锥的3倍,其中某是某的若干倍,在立体图形中即为体积比。



二、《阿波罗尼奥斯圆锥曲线论》,朱恩宽、张毓新、张新民、冯汉桥译,陕西科学技术出版社2007年出版

本书原著的最后一卷,即卷VIII早已遗失,现在的版本分为上下两册:卷I~卷IV为一册,卷V~卷VII为一册。在正文前的汉译者序中即提到[Eucl.XI.15]如果两条相交直线平行于不在同一平面上的另外两条相交直线,则两对相交直线所在的平面平行。

下面仅以正文中的卷I命题4为例说明,其中提到《原本》中的多个命题。《圆锥曲线论》中的命题是:如果两个对顶的曲面是由生成它的直线沿着一个圆的圆周移动而产生的,且这两锥面的任一个被某个与这圆平行的平面所截,则这截面在这圆锥曲面内切出一个圆心在其轴上的圆,该圆与圆锥曲面在顶点一侧的部分所包围的图形将是一个圆锥.

1、[Eucl.XI.3]:如果两个平面相交,则它们的共同交迹是一条直线。这里要提醒读者注意的是,因为《原本》没有立体方面的公设,所以《原本》对这个命题的证明是不严格的。

2、[Eucl.XI.16]:如果两平行平面被另一个平面所截,则截得的交线是平行的。但书中误写成[Eucl.XI.6]。

3、[Eucl.VI.2]:如果一条直线平行于三角形的一边,则它截三角形的两边成比例线段。但书中误写成了[Eucl.VI.4]。

4、[Eucl.V.9]:几个量与同一个量的比相同,则这些量彼此相等;且同一个量与几个量的比相同,则这些量相等。这里说的是如果a:b=c:b,则a=c;如果a:b=a:c,则b=c。

这里要说明一下书中用到的数学符号:《圆锥曲线论》中本来都是用文字叙述的,但现在的版本为使读者方便起见,用了数学符号,其中“A:B::C”表示A:B=C,即双冒号相当于现代数学中比例式中的等号。

《圆锥曲线论》内容丰富,难度很大,以上所提无非是管窥蠡测罢了。

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