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求 (1+x+1/x)^100 展开式的常数项

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发表于 2021-10-13 10:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
求(1+x+1/x)∧100的常数项
发表于 2021-10-13 14:00 | 显示全部楼层
一猜都是很大的数(2^100,3^100)之间  大概在2.8^100 左右  所以 应该不能用一个值表示 验证了
0        1
1        1
2        3
3        7
4        19
5        51
6        141
7        393
8        1107
9        3139
10        8953
11        25653
12        73789
13        212971
14        616227
15        1787607
这个前15项 没有发现规律   后面想到了  王守恩   给我的oeis  在上面搜索 刚好出来这个A002426

由于是英文的我好想有点看不懂  一定是这个序列 好想后面提示有解法 但是 读不懂
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发表于 2021-10-13 17:22 | 显示全部楼层
展开式的常数项为  25134265191388162956642519120384003897467908119。

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这么长一节  发表于 2021-10-13 17:43
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发表于 2021-10-13 17:38 | 显示全部楼层


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謝謝陸老師  发表于 2021-10-14 19:52
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发表于 2021-10-13 17:40 | 显示全部楼层


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謝謝陸老師  发表于 2021-10-14 19:52
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发表于 2021-10-13 18:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-13 18:51 编辑

{1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, 25653, 73789, 212941, 616227, 1787607,
5196627, 15134931, 44152809, 128996853, 377379369, 1105350729,  3241135527,
9513228123,  27948336381,  82176836301,  241813226151,  712070156203, ...........}

\(\displaystyle a_{n}=\frac{(2n-1)a_{(n-1)}+3(n-1)a_{(n-2)}}{n}\)

\(\displaystyle a_{n}=\sum_{k=0}^{n/3}\frac{n(2n-3k-1)!\cos(n\pi)}{k!(n-k)!(n-3k)!}\)

\(\displaystyle a_{n}=\sum_{k=0}^{n/2}\frac{n!}{(k!)^2(n-2k)!}\)
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发表于 2021-10-13 19:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-13 19:10 编辑
王守恩 发表于 2021-10-13 18:47
{1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, 25653, 73789, 212941, 616227, 1787607,
5196627, 1513 ...

Table[Table[CoefficientList[Series[(1 + x + x^2)^n, {x, 0, n}], x][[a]], {n, a - 1, 23}], {a, 1, 17}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1},
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23},
{3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276},
{7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442, 546, 665, 800, 952, 1122, 1311, 1520, 1750, 2002,},
{19, 45, 90, 161, 266, 414, 615, 880, 1221,1651, 2184, 2835, 3620, 4556, 5661, 6954, 8455, 10185,},
{51, 126, 266, 504, 882, 1452, 2277, 3432, 5005, 7098, 9828,13328, 17748, 23256, 30039, 38304,},
{141, 357, 784, 1554, 2850, 4917, 8074, 12727, 19383, 28665, 41328, 58276, 80580, 109497, 146490,},
{393, 1016, 2304, 4740, 9042, 16236, 27742, 45474, 71955, 110448, 165104, 241128, 344964, 484500,},
{1107, 2907, 6765, 14355, 28314, 52624, 93093, 157950, 258570, 410346, 633726, 955434, 1409895,},
{3139, 8350, 19855, 43252, 87802, 168168, 306735, 536640, 905658, 1481108, 2355962, 3656360,},
{8953, 24068, 58278, 129844, 270270,  531531, 996216, 1791426, 3107430, 5222264, 8533660,},
{25653, 69576, 171106, 388752, 827190, 1665456, 3198312, 5895396, 10483934, 18062160,},
{73789, 201643, 502593, 1161615, 2520336, 5182008, 10171746, 19174572, 34880770, 61476590,},
{212941, 585690, 1477035, 3465840, 7651632, 16031952, 32099094, 61757600, 114700530,},
{616227, 1704510, 4343160, 10329336, 23162976, 49366674, 100640340, 197278710, 373455830,},
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发表于 2021-10-13 19:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-13 19:15 编辑
王守恩 发表于 2021-10-13 18:47
{1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, 8953, 25653, 73789, 212941, 616227, 1787607,
5196627, 1513 ...

数!是相通的(这是"杨辉三角")!
Table[Table[CoefficientList[Series[(1 + x)^n, {x, 1, n}], x][[a + 1]], {n, a, 23}], {a, 0, 17}]
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21, 22, 23},
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253},
{1, 4, 10, 20, 35,56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771},
{1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001,1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855},
{1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628,  15504, 20349, 26334,},
{1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, 1716, 3003, 5005, 8008, 12376, 18564, 27132, 38760, 54264, 74613,},
{1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3432, 6435, 11440, 19448, 31824, 50388, 77520, 116280, 170544,},
{1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12870, 24310, 43758, 75582, 125970, 203490, 319770, 490314},
{1, 10, 55, 220, 715, 2002, 5005, 11440, 24310,  48620, 92378, 167960, 293930, 497420, 817190},
{1, 11, 66, 286, 1001, 3003, 8008, 19448, 43758, 92378, 184756, 352716, 646646,  1144066},
{1, 12, 78, 364, 1365, 4368, 12376, 31824, 75582, 167960, 352716, 705432, 1352078},
{1, 13, 91, 455, 1820, 6188, 18564, 50388, 125970, 293930, 646646, 1352078},
{1, 14, 105, 560, 2380, 8568,  27132, 77520, 203490, 497420, 1144066},
{1, 15, 120, 680, 3060,  11628, 38760, 116280, 319770, 817190},
{1, 16, 136, 816, 3876,  15504, 54264, 170544, 490314},
{1, 17, 153, 969, 4845, 20349, 74613, 245157},
{1, 18, 171, 1140, 5985, 26334, 100947}}
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