一次检验拒绝 H0，犯第一类错误概率为 α，n 次检验都拒绝 H0，求犯第一类错误的概率

中国上海市

在做两个均数比较时可用t检验，但做3个或3个以上的均数比较时，不能用均数的两两t检验而要用方差分析（亦即F检验），否则会增加犯第一类错误的概率，若做一次t检验时犯第一类错误的概率为α，那么做n次t检验后犯第一类错误的概率是多少？nα吗？

luyuanhong

题  对某一个假设 H0 作一次 t 分布检验，检验的结果是拒绝 H0，这时犯第一类错误的概率为 α 。

现在对同一个假设 H0 作 n 次 t 分布检验，检验的结果都是拒绝 H0，求这 n 次检验犯第一类错误

的概率。

解  第一类错误的意思是：实际上 H0 是成立的，而我们却根据检验结果拒绝了 H0 ，犯这样的错误

称为第一类错误。犯第一类错误的概率，也就是错误地拒绝了 H0 的概率，通常记为 α 。

   现在对同一个假设 H0 ，作 n 次检验，实际上 H0 是成立的，但是我们根据 n  次检验的结果，

n 次都错误地拒绝了 H0 。因为每一次检验犯错误的概率是 α ，各次检验可以看作是相互独立的，

所以，n 次检验都犯错误的概率，就应该是 n 个 α 相乘，等于 α^n 。

Ysu2008

多于两个样本的均值比较，零假设是“均值全相等”，对立假设是“至少有一个均值与其它值不等”。

如果用两两 \(t\) 检验多次比较，只要有一次检验拒绝相等，则拒绝上述零假设。
假设一次 \(t\)检验犯第一类错误的概率为\(\alpha\)，做 \(n\) 次 \(t\) 检验犯第一类错误的概率为 \(P\) ,则\(\alpha < P <n\alpha\) .

具体是多少不好算，因为各次\(t\)检验之间不独立，存在相关性。譬如三个样本的均值比较，做三次两两\(t\)检验，单次\(\alpha=0.05\)，三次犯第一类错误的概率扩大为 \(\approx12.2 \%\) .

Ysu2008

不一定非得用方差分析，也可以用两两\(t\)检验，要控制多次\(t\)检验的拒真概率，适当缩小\(\alpha\)就可以了。
譬如三个样本的均值比较，取单次\(\alpha=0.01889\)，则三次两两\(t\)检验犯第一类错误的概率就\(\approx 0.05\) .

很多人认为不可能用两两\(t\)检验实现多样本均值比较，然而我就喜欢把不可能变成可能。

中国上海市

谢谢你们各位的解答啊，但还有答案是认为做n次两两t检验犯第一类错位的概率为1-(1-α)^n，为啥答案都不一样呢

Ysu2008

中国上海市 发表于 2021-10-12 16:08
谢谢你们各位的解答啊，但还有答案是认为做n次两两t检验犯第一类错位的概率为1-(1-α)^n，为啥答案都不一样 ...

如果各次\(t\)检验是相互独立的伯努利试验，答案就是 \(1-\left( 1-\alpha\right)^n\)
然而事实上各次\(t\)检验并不相互独立。