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\(请教高手,\sum_{n=1}^{∞}\frac{sin(2n-1)}{2n-1}=\frac{\pi}{4}\)

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发表于 2021-10-9 21:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 awei 于 2021-10-9 22:00 编辑

\[请教高手,\sum_{n=1}^{∞}\frac{sin(2n-1)}{2n-1}=\frac{\pi}{4}\]
发表于 2021-10-9 23:51 | 显示全部楼层
这欧拉不是解决了吗?无穷分析引论里面。
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发表于 2021-10-10 00:26 | 显示全部楼层
\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}
=\Im\operatorname{arctanh}(e^i)
=\Im\left[\frac{1}{2}\ln{\frac{1+e^i}{1-e^i}}\right]
=\frac{\pi}{4}
\]
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 楼主| 发表于 2021-10-10 22:56 | 显示全部楼层
Nicolas2050 发表于 2021-10-9 23:51
这欧拉不是解决了吗?无穷分析引论里面。

谢谢老师回帖,无穷分析引论这本书还不好找
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 楼主| 发表于 2021-10-10 22:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 awei 于 2021-10-11 13:10 编辑
yichang 发表于 2021-10-10 00:26
\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}


谢谢老师回帖,反双曲正切函数前边那个符号什么意思,取实部的符号吗
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发表于 2021-10-10 23:24 | 显示全部楼层
awei 发表于 2021-10-10 22:58
谢谢老师回帖,反双曲正弦函数前边那个符号什么意思,取实部的符号吗


取虚部,一般写成 Im 。
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发表于 2021-10-11 06:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-11 06:44 编辑
yichang 发表于 2021-10-10 00:26
\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}

请教高手,相似的问题。谢谢!

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^2(n)}{n^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi+1}{2}\)
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发表于 2021-10-11 14:05 | 显示全部楼层
\[\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(nx)}}{n}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2in}
=\frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1-e^{-ix}}{1-e^{ix}}\right)
=\frac{\pi-x}{2} \\
&\stackrel{x=1}{\implies}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(n)}}{n}=\frac{\pi-1}{2}
\end{aligned}\]

\begin{alignat*}{3}
& & \int_0^x \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n}\,\mathrm{d}x
&=\int_0^x \dfrac{\pi-x}{2}dx& \\
&\implies& \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1-\cos(nx)}{n^2}\right)&=\frac{2\pi x-x^2}{4}& \\
&\implies& \sum_{n=1}^\infty \frac{2\sin^2(\frac{nx}{2})}{n^2}&=\frac{2\pi x-x^2}{4} & \\
&\stackrel{x=2}{\implies}& \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2(n)}{n^2}&=\frac{\pi-1}{2} &
\end{alignat*}

评分

参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 谢谢高手!慢慢来消化。

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发表于 2021-10-12 09:53 | 显示全部楼层
yichang 发表于 2021-10-11 14:05
\[\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(nx)}}{n}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{inx}-e^{-inx}} ...

谢谢高手!慢慢来消化。这个可以有吗?

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)}{n}\)

跟这串数的奇偶有关。\(a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 20, 25, 31, 38, 45, 53, 62, 71, 81, 91, 103, 114, 127, 140, 154, 168, 183, 198, ...}
\(a(n)=\mod(\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi},\ \ 2)=\mod(\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor,\ \ 2)\)
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...}
这好像是二进制?
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发表于 2021-10-12 10:49 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-10-12 09:53
谢谢高手!慢慢来消化。这个可以有吗?

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)}{n}\)

谢谢高手!慢慢来消化。这样可以吗?

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{\sin(n)\ }{n}-\frac{\sin(n^2)\ }{n}\bigg)=0.892215\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)\ }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\ }{n}-0.892215=\frac{\pi-1}{2}-0.892215=0.178503\)
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