为什么这两组向量分别是 {(x,x,y)∈F^3：x,y∈F} 和 {(x,y,z)∈F^3：x+y+z=0} 的基？

wufaxian

请看图中的两个问题。
第一行两个向量为什么是基？是哪个空间的基？\(F^{ 3}\)？或是F的？为什么？第二个向量根本不在xy平面上！
第二行花括号内容的含义是什么？代表什么空间？这两个向量为什么是花括号空间的基底？

liangchuxu

这两个向量为什么是基底？

luyuanhong

（1） {(x,x,y)∈F^3：x,y∈F} 表示它是这样一个集合：

其中的元素都是三维向量，但是要满足一个条件：向量的第一个分量与第二个分量必须相等。

(1,1,0) 和 (0,0,1) 都满足这样的条件，它们都在这个集合中。

由 k1(1,1,0)+k2(0,0,1)=(0,0,0) 可推出 k1=k2=0 ，可见 (1,1,0),(0,0,1) 线性无关（不相关）。

集合中任何一个向量 (x,x,y)=x(1,1,0)+y(0,0,1) 都可用 (1,1,0),(0,0,1) 线性表示。

所以 (1,1,0),(0,0,1) 是  {(x,x,y)∈F^3：x,y∈F}  的一组基。

（2） {(x,y,z)∈F^3：x+y+z=0} 表示它是这样一个集合：

其中的元素都是三维向量，但是要满足一个条件：向量的三个分量之和必须等于 0 。

(1,-1,0) 和 (1,0,-1) 都满足这样的条件，它们都在这个集合中。

由 k1(1,-1,0)+k2(1,0,-1)=(0,0,0) 可推出 k1=k2=0 ，可见 (1,-1,0),(1,0,-1) 线性无关（不相关）。

集合中任何一个向量 (x,y,-x-y)=-y(1,-1,0)+(x+y)(1,0,-1) 都可用 (1,-1,1),(1,0,-1) 线性表示。

所以 (1,-1,1),(1,0,-1) 是 {(x,y,z)∈F^3：x+y+z=0} 的一组基。