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求极限 lim(0→∞)[∫(0,1)e^(x^2/n)dx]^n

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发表于 2021-9-21 08:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
求极限\(\lim_{n→∞}\left( \int_0^1e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)^n\)
发表于 2021-9-21 18:06 | 显示全部楼层

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点评

感谢  发表于 2021-9-21 22:00
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发表于 2021-9-21 19:25 | 显示全部楼层
楼上 Future_maths 的解答很好!已收藏。
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发表于 2021-9-21 23:07 | 显示全部楼层
好题,nice╰(*°▽°*)╯
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发表于 2021-11-3 22:44 | 显示全部楼层

沒有什麼是洛必達一次解決不了的,如果有,那就兩次

本帖最后由 fungarwai 于 2021-11-3 23:03 编辑

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)^n
=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1/n}\ln\left(\int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)\right)\)
\(\displaystyle =\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{-1}{n^2}\left(\int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)}\int_0^1 \frac{-x^2}{n^2}e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)\)
\(\displaystyle =\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}}dx}\int_0^1 x^2 e^{\frac{x^2}{n}}dx\right)\)
\(\displaystyle =\exp\left(\int_0^1 x^2 dx\right)
=\exp\left(\frac{1}{3}\right)\)
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发表于 2021-11-3 23:48 | 显示全部楼层
楼上 fungarwai 的解答很好!已收藏。
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