在 ΔABC 中，AB=AC=1，∠A=90°，D,E 分别是 AB,BC 上两点，DE⊥CD，求 BE 的最大值

王守恩

uk702 发表于 2021-9-19 09:24
看了老师给出的标准解答，虽然挑不出什么错来，但我彻底凌乱了。（大体可以理解成一种构造方法，检查对什么 ...

\(设∠ACD=\theta\ \ \ \ \ AD=\tan(\theta)\)

\( BE=\frac{(1-\tan(\theta))\sin(\theta)}{\sin(45^\circ+\theta)}\)

\(=\frac{1}{\sin45^\circ}*\frac{\sin(\theta)\cos(\theta)-\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)+\sin(\theta)\cos(\theta)}\)

\(=\frac{1}{\sin45^\circ}*\frac{\sin(2\theta)-2\sin^2(\theta)}{2\cos^2(\theta)+\sin(2\theta)}\)

\(=\frac{1}{\sin45^\circ}*(1-\frac{2}{2\cos^2(\theta)+\sin(2\theta)})\)

\(=\frac{1}{\sin45^\circ}*(1-\frac{2}{1+\cos(2\theta)+\sin(2\theta)})\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-20 16:43
\(设∠ACD=\theta\ \ \ \ \ AD=\tan(\theta)\)

\( BE=\frac{(1-\tan(\theta))\sin(\theta)}{\sin(45^\ ...

\(1,CD是角平分线\)
\(\frac{BD*1}{(1-BD)*\sqrt{2}}=1\ \ \ \ BE=\frac{BD\sin(\pi/8)}{\sin(3\pi/8)}\)
\(2,CD是角不均分线\)
\(\frac{BD*1*\sin(\theta)}{(1-BD)*\sqrt{2}*\sin(\pi/4-\theta)}=1\ \ \ \ BE=\frac{BD\sin(\theta)}{\sin(\pi/4+\theta)}\)
\(3,CD是角不均分线\)
\(\frac{BD*1*\sin(\theta)}{(1-BD)*\sqrt{2}*\sin(\pi/4-\theta)}=1\ \ \ \ BE=\frac{BD\sin(\theta)}{\cos(\pi/4-\theta)}\)
\(4,CD是角不均分线\)
\(\frac{BD*1*\sin(\theta)}{(1-BD)*\sqrt{2}*\cos(\pi/4+\theta)}=1\ \ \ \ BE=\frac{BD\sin(\theta)}{\sin(\pi/4+\theta)}\)
\(5,ED是角不均分线\)
\(\frac{(1-\tan(\theta))*(\sqrt{2}-BE)*\sin(\theta)}{(1/\cos(\theta))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)
\(6,ED是角不均分线,已知\theta=\pi/8\)
\(\frac{(1-\tan(\pi/8))*(\sqrt{2}-BE)*\sin(\pi/8)}{(1/\cos(\pi/8))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)

uk702

王守恩 发表于 2021-9-20 18:33
\(1,CD是角平分线\)
\(\frac{BD*1}{(1-BD)*\sqrt{2}}=1\ \ \ \ BE=\frac{BD\sin(\pi/8)}{\sin(3\pi/8)}\ ...

若△ABC不是等腰直角三角形，如 AB=a，BC=b，∠ACB=\(\alpha\)，其它条件相同，可否可解？

王守恩

uk702 发表于 2021-9-21 06:09
若△ABC不是等腰直角三角形，如 AB=a，BC=b，∠ACB=\(\alpha\)，其它条件相同，可否可解？

\(5,ED是角不均分线\)
\(\frac{(1-\tan(\theta))*(\sqrt{2}-BE)*\sin(\theta)}{(1/\cos(\theta))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)

\(同理，记∠BDE=\theta\ \ \ AB=\sin(C)\ \ \ AC=\sin(B)\ \ \ BC=\sin(C+B)\)

\(\frac{(\sin(C)-\sin(B)\sin(C+B+\theta-\pi/2)/\cos(\theta))*(\sin(C+B)-BE)*\sin(\theta)}{(\sin(B)\sin(C+B)/\cos(\theta))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)

lihp2020

uk702 发表于 2021-9-21 06:09
若△ABC不是等腰直角三角形，如 AB=a，BC=b，∠ACB=\(\alpha\)，其它条件相同，可否可解？

按照我的画圆方法是可以的

FGNBGHJUOI

uk702 发表于 2021-9-21 06:09
若△ABC不是等腰直角三角形，如 AB=a，BC=b，∠ACB=\(\alpha\)，其它条件相同，可否可解？

如果\(\angle A\)永远都是\(90^{\circ}\)，且\(AB\ne BC\)(\(AB和BC不能为0\)），

则永远都是当\(CD\)为\(\angle ACB\)的角平分线，\(CE\)的中点与\(D\)的连线垂直\(AB\)的时候，\(BE\)取最大值

如果\(\angle A\ne90^{\circ}\)\(\left( 180^{\circ}>\angle A>0^{\circ}\right)\)，\(\left( AB=BC，或者AB\ne BC\right)\left( AB和BC不能为0\right)\)

只有\(CE\)的中点与\(D\)的连线垂直\(AB\)的时候，\(BE\)取最大值，\(CD\)就不是\(\angle ACB\)的角平分线了

为什么只有\(CE\)的中点与\(D\)的连线垂直\(AB\)的时候，\(BE\)取最大值

作\(CE\)的中点垂直AB交于点F的线段，可见\(CE\)的中点在不停地右移到C点，\(CE\)的中点垂直AB交于点F的线段在不断变大，\(CE\)的中点与C点的相连的线段在不断变小，

因为点到直线的距离垂直最短，\(CE\)的中点与\(D\)的连线垂直\(AB\)的时候，那段连线是临界值

所以那两条线段，在临界值之后再将中点往C点靠，就不可能会相等(D点在边上运动是充要条件)

不知以上解答是否满意(ヾ(≧▽≦*)o

王守恩

uk702 发表于 2021-9-21 06:09
若△ABC不是等腰直角三角形，如 AB=a，BC=b，∠ACB=\(\alpha\)，其它条件相同，可否可解？

可能说的太快了，大家没反应，倒回去，从简单说起。
\(在 ΔABC 中,∠A=90°,BC=1,CA=\sin(B),AB=\cos(B)\)
\(D,E 分别是 AB,BC 上两点,DE⊥CD,求 BE 的最大值\)
\(记∠BDE=\theta根据ED是角不均分线(见12楼)\)
\(\frac{(\cos(B)-\sin(\theta)\sin(B)/\cos(\theta))*(1-BE)*\sin(\theta)}{(\sin(B)/\cos(\theta))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)
\(化简：BE=\frac{\sin(2\theta+B)-\sin(B)}{2\sin(\theta+B)\cos(\theta)}\)
\(当\theta=45^\circ-B/2时\ \ BE最大值=\frac{1-\sin(B)}{1+\sin(B)}\)

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-9-21 15:23
可能说的太快了，大家没反应，倒回去，从简单说起。
\(在 ΔABC 中,∠A=90°,BC=1,CA=\sin(B),AB=\cos(B ...

nice , 用三角函数法也是很不错的 ，我说的没那么详细了

王守恩

FGNBGHJUOI 发表于 2021-9-21 15:15
如果\(\angle A\)永远都是\(90^{\circ}\)，且\(AB\ne BC\)(\(AB和BC不能为0\)），

则永远都是当\(CD ...

谢谢 FGNBGHJUOI 提示！再作化简。
\(在 ΔABC 中,∠A=90°,CB=1,BA=\sin(C),AC=\cos(C)\)
\(D,E 分别是 AB,BC 上两点,DE⊥CD,求 BE 的最大值\)
\(记∠BDE=\theta根据ED是角不均分线(见12楼)\)
\(\frac{(\sin(C)-\sin(\theta)\cos(C)/\cos(\theta))*(1-BE)*\sin(\theta)}{(\cos(C)/\cos(\theta))*BE*\sin(\pi/2)}=1\)
\(化简：BE=\frac{\sin(C-\theta)\sin(\theta)}{\cos(C-\theta)\cos(\theta)}\)
\(当\theta=C/2时\ \ BE最大值=\tan^2(C/2)\)

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-9-21 19:01
谢谢 FGNBGHJUOI 提示！再作化简。
\(在 ΔABC 中,∠A=90°,CB=1,BA=\sin(C),AC=\cos(C)\)
\(D,E 分别 ...

(≧▽≦)