奥尔加于1922年3月7日出生在俄罗斯北部的一个不到四千人口的小镇Kologriv,当年俄国正处在第一次世界大战后的经济萧条时期。她的父亲亚历山大(Alexander I. Ladyzhenskaya)是当地一所中学的校长兼数学教师,母亲Anna Mikhailovna是个家庭主妇,奥尔加在三姐妹中排行最小,祖父根纳迪(Gennady Ladyzhensky)是个画家。
1943年,经过多番周折之后,奥尔加终于进入了莫斯科国立大学数学力学系二年级就读。该校当年也叫做莫斯科国立罗蒙诺索夫(Lomonosov)大学。在那里,她获得了助学金。她的指导教授是著名的数学家伊万·彼得罗夫斯基 (Ivan G. Petrovsky,1901-1973)。彼得罗夫斯基主要从事偏微分方程研究,对希尔伯特第19和第16问题做出过重大贡献。在校期间,奥尔加经常参加伊斯拉埃尔·盖尔范德(Israel Gelfand,1913-2009)的数学讨论班。盖尔范德被认为是20世纪最伟大的数学家之一。在那里,她受盖尔范德和安德烈·吉洪诺夫(Andrei N. Tikhonov,1906-1993)影响甚深。
1947年,奥尔加从莫斯科国立大学毕业。她的毕业论文解决了一类时变系数抛物型偏微分方程的求解问题,被彼得罗夫斯基推荐到《Mathamaticheskii Sbornik》发表。她毕业后和数学系同学安德烈·基谢列夫(Andrei A. Kiselev)结婚,并跟随丈夫移居到列宁格勒。在那里,她凭着莫斯科大学的强力推荐如愿以偿地进入了列宁格勒国立大学数学力学系,师从谢尔盖·索伯列夫(Sergei L. Sobolev,1908-1989)。索伯列夫是数学分析和偏微分方程领域的著名数学家,他长期组织一个数学物理方程边值问题的讨论班系列,让列宁格勒各个高校偏微分方程理论及应用方向的师生们经常有机会聚集在一起研讨数学物理的前沿问题。在那里,奥尔加是骨干成员,后来成为组织者。之后,她一直坚持组织该讨论班系列的活动直至去世为止。在读博期间,她和著名数学家弗拉基米尔·斯米尔诺夫(Vladimir I. Smirnov,1887-1974)在流体动力学研究方面开始建立合作。
图3 奥尔加(青年时期)
1949年,奥尔加在列宁格勒国立大学取得博士学位,并留校在数学物理学院当讲师。在那里,她1954年成为副教授,1956年升为正教授。在博士毕业论文中,她发展了线性和拟线性双曲偏微分方程组的有限差分算法,在索伯列夫空间网格上作类似于Fourier级数的展开,并通过对逼近误差的估计严格证明了算法在网格步长趋于零时的收敛性。后来知道,冯·诺依曼(John von Neumann,1903-1957)在美国Los Alamos实验室差不多同时也发展了类似的算法。奥尔加在博士论文中把有限差分法推广到其它不同类型的偏微分方程组,给出了包括时变系数情形的算法稳定性条件和证明。她还对彼得罗夫斯基关于拟线性双曲型偏微分方程组的Cauchy问题局部唯一解的存在性证明做了有意义的简化。
1953年,奥尔加获得了物理与数学科学博士学位(Doctor of Physicaland Mathematical Sciences),论文是关于一般二阶双曲型偏微分方程混合边值问题解的正则性。她给出了这类方程的解是经典解的严格精确条件,并论证了Fourier方法用于双曲型方程求解的可行性,以及Laplace变换方法在这类方程中的应用。1953年,她的俄文专著《双曲方程的混合问题》(The Mixed Problem fora Hyperbolic Equation)总结了上述成果。
图4奥尔加(中年时期)
多年之后,1964年奥尔加和她的学生尼娜·乌拉尔茨瓦(Nina N. Ural'tseva,1934-2012)出版了一本百科全书式的专著《线性和拟线性椭圆型方程》(Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type),该书涵盖了领域内的大部分基本成果。她俩又和另一个学生弗谢沃洛德·索隆尼科夫(Vsevolod A. Solonnikov,1933 - )一起,出版了专著《线性和拟线性抛物型方程》(Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type)。美国著名数学家彼得·拉克斯(Peter D. Lax,1926 - )是2005年阿贝尔奖(Abel Prize)得主,他评说奥尔加的这几本书“包含了许多关于椭圆型和抛物型方程解的估计的深刻结果。作者们极大地推广了伯恩施坦的思想和德·乔治、莫泽及纳什的技巧。这些书是领域内基本知识的源泉”。
1757年,欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)在他著名论文“流体运动的一般原理”(Principes généraux dumouvement des fluides)中建立了第一个无粘性不可压缩流的运动偏微分方程。1821年,工程师和物理学家克劳德·纳维(Claude-Louis Navier,1785-1836)改进了欧拉的方程而建立了带有一个粘性常数不可压缩流的方程。1845年,数学和物理学家乔治·斯托克斯(Sir George Stokes,1819-1903)作了进一步的推广,建立了带有两个粘性常数不可压缩流的方程,即著名的“纳维-斯托克斯方程”。
由于1940-1950年代苏联和西方世界的割裂,奥尔加并不了解法国数学家让·勒雷(Jean Leray,1906-1998)和美国数学家埃伯哈德·霍普(Eberhard F. F. Hopf,1902-1983 )关于纳维-斯托克斯方程的重要成果。在1950年代期间,奥尔加独立地发表了一系列关于斯托克斯方程和纳维-斯托克斯方程的研究结果。1958年,她在《苏联科学院学报》(Doklady Akademii Nauk SSSR)上发表了一篇十分重要的论文,证明了二维纳维-斯托克斯方程初边值问题的全局唯一可解性。而相应的Cauchy 问题则是由勒雷解决的。同时,奥尔加还给出了纳维-斯托克斯方程的数值解法和算法收敛性证明。
奥尔加的工作在流体动力学的研究领域里引出了许多有意义的新课题。这些主要成果都总结在她非常有影响的专著《粘性不可压缩流的数学理论》(The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow)里。该书后来成为领域内的经典。
奥尔加在流体偏微分方程方面的研究工作主要受到俄罗斯数学家谢尔盖·伯恩施坦(Sergei N. Bernstein,1880-1968)、法国数学家让·勒雷和波兰数学家朱利叶斯·绍德尔(Juliusz P. Schauder,1899-1943)的影响。由于这三位数学家对希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)第19问题均有不同程度的贡献,他们的工作也把奥尔加从经典偏微分方程的研究引导到希尔伯特第19问题中去。
最完整的结果公认为是由意大利数学家恩尼奥·德·乔治(Ennio De Giorgi,1928-1996)和美国数学家约翰·纳什(John F. Nash Jr.,1928-2015)对三维情形做出的。德·乔治证明了具有散度形式并带可测系数的一致椭圆二阶方程的弱解是 Holder 连续的,从而推出了关于第19问题正则性的解答。他的证明在 1956-1957 年间与纳什是同时但独立完成的。德·乔治直接研究偏微分方程本身,而纳什研究相应的热传导方程并得到Holder估计,即证明了弱解的Holder连续性。由于椭圆方程可以理解为不依赖时间的热方程,由此可推出原变分问题的正则性,即也给出了第19问题的解答。稍后,美籍德国数学家于尔根·莫泽(Jürgen K. Moser,1928-1999)给出了一个不同的证明。于是有了一条著名的De Giorgi-Nash-Moser 定理。他们的结果表明,散度型椭圆方程以及半线性椭圆方程和Laplace方程一样,都具有正则性。至此,希尔伯特第19问题被认为是完全解决了。
奥尔加研究二维纳维-斯托克斯方程初边值问题时导出了半群的概念并发展了相应的一些技巧。她证明了,方程的解算子在相空间中对应于每个固定的时刻都是个紧算子。这个结论对于有限维相空间是容易建立的。她接下来对无穷多个有限维数逐渐增大的相空间取交集,然后证明了其交集非空、紧致、并对相邻有界子集具有某种吸引性。她把这个极限集称为全局最小吸引子(global minimal attractor)。她还发现了这个交集的许多有趣特性,诸如某些不变性和耗散性,以及时间向负方向的可逆转性,特别是对相关抛物型方程作了推广。她的研究开辟了偏微分方程的一个全新方向,即大范围稳定性理论(stability in the large)以及偏微分方程的吸引子理论。她建立了算子半群和二维纳维-斯托克斯方程的联系并给出了吸引子Hausdorff 维数和分数维数的精确估计。这些成果总结在她1988年出版的专著《半群的吸引子和演化方程》(Attractors for Semigroups and Evolution Equations)里。
由于父亲历史问题的缘故,奥尔加本人到1988年66岁之后才被允许出国参加学术会议。这些痛苦的经历自然影响到她的政治观点。她明确地支持当年的一些政治异见人士,包括著名作家、诺贝尔文学奖获得者、俄罗斯科学院院士亚历山大·索尔仁尼琴(Aleksandr Solzhenitsyn,1918-2008)和著名女诗人、牛津大学名誉文学博士安娜·戈连科(Anna A. Gorenko,1889-1966;笔名安娜·阿赫玛托娃,Anna Akhmatova)。
2022年7月6–14日,世界数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡召开,其中举办纪念奥尔加100周年诞辰的学术活动。为此,大会的组织委员会和俄罗斯国家数学会以及圣彼得堡国立大学还联合颁发一个新的奖项:“奥尔加·拉德任斯卡娅奖章”(Olga A. Ladyzhenskaya Medal),奖金为一百万卢布。之后,该奖项在每届世界数学家大会上隆重颁发,奖励数学物理领域(包括量子场论和统计物理)中有杰出贡献的数学家和物理学家。