无穷大与无穷大，谁大？

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无穷大与无穷大，谁大？

作者 某只川老鼠

前言

看到这个标题，大家是不是觉得很奇怪呢？无穷大就是无穷大，怎么无穷大还能分个三六九等？

然而数学有的时候不一定跟着直觉走。很多时候，经过严格的推理和论证，我们可以得出很多反直觉，但确实正确的结论。

在数学上，关于无穷大的讨论，人们曾经经历了很多的争论，甚至还把相关理论的发明人，数学家康托尔，逼到精神失常。所幸，现在这个争论终于尘埃落定，现代数学关于无穷大已经有了一套比较完备的理论。姑且写出来，分享之。

神奇的希尔伯特旅馆

希尔伯特旅馆是数学上一个著名的思想实验，也是关于无穷大的理论的基石。或许不少看到这篇文章的小伙伴之前都听过。不过我这里，还是觉得以这个引入是最好的，所以这里就再写一遍咯。没接触过的小伙伴正好来看一下：



设想有一个无限大的旅馆，里面有标号1,2,3...的无穷多个房间。现在，所有的客房都有客人了。考察下列情景：

某天，张三带着他朋友们组成了一个10人旅行团来这里旅游，想要住这个旅馆，请问能不能给他们安排房间？

第二天，张三雇了一辆无穷巴士，带来了标号1,2,3...的无穷多个朋友来这里旅游。请问，能不能把他们都安排上房间？

第三天，张三找了一个无穷旅行社，从里面雇了编号1,2,3...的无穷多个巴士，每一个巴士上都有标号1,2,3...的无穷多个客人。请问，能不能把他们都安排上房间？

第四天，张三找了一辆“超级无穷巴士”，上面的客人不用1,2,3...编号，而是每人身上都贴着一个标签，标签上写着只包含"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串。假设每个人身上的标签组合起来，可以包含所有由"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串组成的字符，并且不同人对应的字符各不相同。请问，此时还能给这些人安排房间吗？图片

正确答案是：前三天都可以，第四天这个旅馆就歇菜了。



下面的图可以帮助大家理解第4天发生的事情：



无穷大到底怎么比大小？

一一对应原则

从上面的例子可以看到，无穷大之间比大小，就不像有限量比大小一样，”我比你多我就比你大”，而是要借助其他的原则。

这个原则是什么呢？

我们还是从有限量的比较获得灵感。假设一个剧场有1000个座位，你一上台发现台下既没有没人坐的空位，也没有人坐在台阶上这种“不该坐”的地方，并且每个座位上都只有1个人，没有家长抱着小孩坐这种情况。请问：台下有多少观众？

大家一定可以立刻回答出来：1000个。那么，为什么可以立刻回答呢？

显然，在这个场景下，观众和座位形成了一一对应，因此它们的数量也一定是“一样多”。

在数学里，无穷大的比较遵循的是一样的标准：一一对应。如果两个无穷集合里面的元素可以形成一一对应，那么这两个集合的元素个数就是“一样多”。如果无穷集合A可以和无穷集合B的一个子集的元素一一对应，但集合A却无法和集合B中的所有元素进行一一对应，那么就说集合B的元素比集合A多。



一个重要的定理



如果上面的表述太数学化，下面的草图可以帮大家理解：



图中，相同红色数字标出的小段之间具有一一对应关系，对应法则我已经在后面用字母标出。

可见，如果我们可以构建两个法则，分别把两个无穷集合对应到对方的一个子集，我们也可以说这两个集合的元素个数“一样多”。

无限集的势











一些关于无穷的有意思的数学问题

说到这里，可能大家已经被“无穷大”这么一个神奇的东西迷住了。实际上，“无穷大”在数学中的确是一个神奇的玩意儿。

这一节的内容，其实和上面没什么关系。但我决定放在这里，就是通过几个由易到难的和无穷大相关的问题，提醒大家，一旦涉及到无穷，即使是可数无穷，很多时候它甚至不是有限的情况的“极限”，而是可能和“有限”的性质完全不同。一定不能凭借直觉来判断！

有理数相加



集合列交集



小球入箱



数学很神奇，有时也很反直觉。希望小可爱们能从这篇文章感受到数学独特的魅力。原创不易，希望大家多多喜欢，多多支持！