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无穷大与无穷大,谁大?
作者 某只川老鼠
前言
看到这个标题,大家是不是觉得很奇怪呢?无穷大就是无穷大,怎么无穷大还能分个三六九等?
然而数学有的时候不一定跟着直觉走。很多时候,经过严格的推理和论证,我们可以得出很多反直觉,但确实正确的结论。
在数学上,关于无穷大的讨论,人们曾经经历了很多的争论,甚至还把相关理论的发明人,数学家康托尔,逼到精神失常。所幸,现在这个争论终于尘埃落定,现代数学关于无穷大已经有了一套比较完备的理论。姑且写出来,分享之。
神奇的希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆是数学上一个著名的思想实验,也是关于无穷大的理论的基石。或许不少看到这篇文章的小伙伴之前都听过。不过我这里,还是觉得以这个引入是最好的,所以这里就再写一遍咯。没接触过的小伙伴正好来看一下:
设想有一个无限大的旅馆,里面有标号1,2,3...的无穷多个房间。现在,所有的客房都有客人了。考察下列情景:
某天,张三带着他朋友们组成了一个10人旅行团来这里旅游,想要住这个旅馆,请问能不能给他们安排房间?
第二天,张三雇了一辆无穷巴士,带来了标号1,2,3...的无穷多个朋友来这里旅游。请问,能不能把他们都安排上房间?
第三天,张三找了一个无穷旅行社,从里面雇了编号1,2,3...的无穷多个巴士,每一个巴士上都有标号1,2,3...的无穷多个客人。请问,能不能把他们都安排上房间?
第四天,张三找了一辆“超级无穷巴士”,上面的客人不用1,2,3...编号,而是每人身上都贴着一个标签,标签上写着只包含"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串。假设每个人身上的标签组合起来,可以包含所有由"x"和"y"这两个字母的无限长的字符串组成的字符,并且不同人对应的字符各不相同。请问,此时还能给这些人安排房间吗?图片
正确答案是:前三天都可以,第四天这个旅馆就歇菜了。
下面的图可以帮助大家理解第4天发生的事情:
无穷大到底怎么比大小?
一一对应原则
从上面的例子可以看到,无穷大之间比大小,就不像有限量比大小一样,”我比你多我就比你大”,而是要借助其他的原则。
这个原则是什么呢?
我们还是从有限量的比较获得灵感。假设一个剧场有1000个座位,你一上台发现台下既没有没人坐的空位,也没有人坐在台阶上这种“不该坐”的地方,并且每个座位上都只有1个人,没有家长抱着小孩坐这种情况。请问:台下有多少观众?
大家一定可以立刻回答出来:1000个。那么,为什么可以立刻回答呢?
显然,在这个场景下,观众和座位形成了一一对应,因此它们的数量也一定是“一样多”。
在数学里,无穷大的比较遵循的是一样的标准:一一对应。如果两个无穷集合里面的元素可以形成一一对应,那么这两个集合的元素个数就是“一样多”。如果无穷集合A可以和无穷集合B的一个子集的元素一一对应,但集合A却无法和集合B中的所有元素进行一一对应,那么就说集合B的元素比集合A多。
一个重要的定理
如果上面的表述太数学化,下面的草图可以帮大家理解:
图中,相同红色数字标出的小段之间具有一一对应关系,对应法则我已经在后面用字母标出。
可见,如果我们可以构建两个法则,分别把两个无穷集合对应到对方的一个子集,我们也可以说这两个集合的元素个数“一样多”。
无限集的势
一些关于无穷的有意思的数学问题
说到这里,可能大家已经被“无穷大”这么一个神奇的东西迷住了。实际上,“无穷大”在数学中的确是一个神奇的玩意儿。
这一节的内容,其实和上面没什么关系。但我决定放在这里,就是通过几个由易到难的和无穷大相关的问题,提醒大家,一旦涉及到无穷,即使是可数无穷,很多时候它甚至不是有限的情况的“极限”,而是可能和“有限”的性质完全不同。一定不能凭借直觉来判断!
有理数相加
集合列交集
小球入箱
数学很神奇,有时也很反直觉。希望小可爱们能从这篇文章感受到数学独特的魅力。原创不易,希望大家多多喜欢,多多支持! |
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