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Lipschitz函数的定义域能否是有限区间而值域是无限区间?

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发表于 2021-9-16 14:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
假设\(y=f\left( x\right)\)是Lipschitz函数,其定义域是有限区间,值域是无限区间,这可能吗?
发表于 2021-9-17 18:04 | 显示全部楼层
应该不可能吧。根据定义,对于任意x和y,Lipschitz函数应满足
\[|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|\]
其中C是独立常数
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 楼主| 发表于 2021-9-17 21:45 | 显示全部楼层
yichang 发表于 2021-9-17 18:04
应该不可能吧。根据定义,对于任意x和y,Lipschitz函数应满足
\[|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|\]
其中C是独立常 ...

看上去是不可能,谁来严格证明下?
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 楼主| 发表于 2021-9-20 14:19 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-9-23 10:44 | 显示全部楼层
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发表于 2021-12-19 22:17 | 显示全部楼层
设[a,b]是函数定义域,\(c=\frac{a+b}{2}\), 则有常数 L 使
\(|f(x)-f(c)| \le L |x-c|\le L\frac{(b-a)}{2}\)对定义域中
一切 \(x\)成立.  所以 \(|f(x)|\le  |f(c)|+L\frac{(b-a)}{2}\) 有界.
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