比尔猜想的实质”

费尔马1

整系数整式整次幂方程有正整数解，这样的不定方程也称为丢番图方程。比尔方程就是丢番图方程的一类。
不定方程X^a+Y^b=Z^c，当三个指数a、b、c都大于2时，本来就不存在三个底数X、Y、Z两两互质，这时候解方程就要采用“逐项配方法”。
例如，解不定方程X^3+Y^5=Z^7
先选择一个参数恒等式，例，
a^2+b^2=c^2………………㈠
①  ㈠式两边同乘以a得
a^3+ab^2=ac^2…………㈡
②㈡式两边同乘以(ab^2）^(3k）
必有3k+1=5t，最小解，k=3，t=2
(a^4*b^6）^3+(a^2b^4）^5=(a^5b^9c)^2………………㈢
③㈢式两边同乘以(a^5b^9c)^15k
必有15k+2=7t，解得k=5，t=11
则有，(a^129*b^231c^25）^3+(a^77b^139c^15）^5=(a^55b^99c11)^7………………㈣
令X=a^129*b^231c^25
Y=a^77b^139c^15
Z=a^55b^99c^11
则有 X^3+Y^5=Z^7
其中a、b、c为勾股数

费尔马1

比尔方程X^a+Y^b=Z^c，
①当三个指数a、b、c两两互质时，方程有正整数解；
②当三个指数其中任意两个数有公约数，而另外一个数与这两个数互质时，方程有正整数解；
③当三个指数a、b、c有大于二的公约数时，方程无正整数解(即费马大定理的情况)。

费尔马1

程氏方程又比比尔方程复杂dX^a+eY^b=fZ^c，
在程氏方程中，有了系数，即使三个指数是同次幂，方程依然有解。

费尔马1

请大家解比尔方程:
① (A^3)^2+(B^4)^2=(C^5)^2
②A^2+B^3=C^4
注:①出题者，本论坛朱明君，
②出题者，香港万树军