为什么没有一个 3x3 矩阵的零空间等于列空间?（原问题已经解决，提出了延伸问题）

wufaxian

为什么没有一个 3x3 矩阵的零空间等于列空间?

答案：If nullspace = column space (with r pivots) then n - r = r. If n = 3 then 3 = 2r is impossible.

看不太懂这个答案。求老师指教


另外我也在想3x3的奇异矩阵A，他的0空间与他的列向量之间是什么关系。假设他的列向量张成了一个平面。零空间和这个平面垂直？好像也不是！总感觉应该有某种关系。但是和矩阵A的行向量到是都垂直。

wufaxian

矩阵零空间等于列空间。则有零空间矩阵nullspace=列空间矩阵 column space 。

零空间矩阵nullspace的列数=矩阵自由变量的列数。对于3*3的矩阵来说就是n-r 。

而列空间column space的列数等于列空间 独立列数（线性不相关列数） 也就是秩r 。

因此要形成“ 3x3 矩阵的零空间等于列空间?”，就要求n-r=r  当n是奇数的时候显然不可能！问题得证。

但是我想将问题延伸一下。原命题是“零空间”=“列空间”。如果我们放宽要求。提出以下问题。列空间中的某个向量 右乘该3x3矩阵，是否有可能得到一个零向量呢？？
如果可以，是否能找出这样的3x3矩阵A呢？