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S,T 是向量空间 V 的子空间,证明:在 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 中,向量加法与数乘封闭

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发表于 2021-9-13 14:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
假设 S 与 T 是向量空间 V 的两个子空间。
(a) 定义:总和 S + T 包含所有的 s + t,其中 s 来自 S 且 t 来自 T。证明 S + T 满足向量空间的要求(加法与纯量乘法)。

证明:(a) If u and v are both in S + T then u = s 1+ t 1 and v = s 2+ t 2. So u + v =(s 1 + s 2 )+(t 1 + t 2 ) is also in S+T. And so is cu = cs 1 +ct 1 : S +T = subspace.

上面证明下划线部分没看懂。为什么前面的陈述能推出So后面的结论。

不是这道题,但是套用这个逻辑来阐述我的困惑。比如S+T 是数轴上[2 4]的区间,3属于S+T,3.9也属于S+T。但是不能说3+3.9也属于S+T。
发表于 2021-9-13 21:33 | 显示全部楼层
产生结论是有先决条件:设u,v都属于S+T,当u属于S+T,则u=s1+t1,v=s2+t2,
你举的例子,S+T=[2,4],S=?,T=?,前提是:它们必须是子空间,即对V上的加与数乘运算时封闭的,才能来谈论S+T。
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发表于 2021-9-13 22:44 | 显示全部楼层
  S,T 是向量空间 V 的子空间,证明:在 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 中,向量加法与数乘封闭。

证 (1)设 u,v 是 S+T 中的两个向量。

    因为 S+T 中的向量都是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的,所以必有

                     u=s1+t1 ,v=s2+t2 ,其中 s1,s2∈S ,t1,t2∈T 。

    因为 S,T 都是向量空间,加法运算封闭,所以必有 s1+s2∈S ,t1+t2∈T 。

    这时 u+v=(s1+t1)+(s2+t2)=(s1+s2)+(t1+t2) ,其中 s1+s2∈S ,t1+t2∈T 。

    u+v 是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,所以必有 u+v∈S+T 。

    可见,在 S+T 中,向量的加法运算封闭。

(2)设 u 是 S+T 中的一个向量。

    因为 S+T 中的向量都是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的,所以必有

                     u=s1+t1 ,其中 s1∈S ,t1∈T 。

    因为 S,T 都是向量空间,数乘运算封闭,所以对于数字 c 必有 cs1∈S ,ct1∈T 。

    这时 cu=c(s1+t1)=cs1+ct1 ,其中 cs1∈S ,ct1∈T 。

    cu 是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,所以必有 cu∈S+T 。

    可见,在 S+T 中,向量的数乘运算封闭。
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 楼主| 发表于 2021-9-14 14:13 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2021-9-13 22:44
题  S,T 是向量空间 V 的子空间,证明:在 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 中,向量加法与数乘封闭。

证 (1)设 ...

谢谢lu老师解答。
关于第一个证明,前面我都理解了。只是这一句:
“ 这时 u+v=(s1+t1)+(s2+t2)=(s1+s2)+(t1+t2) ,其中 s1+s2∈S ,t1+t2∈T 。

    u+v 是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,所以必有 u+v∈S+T 。


加粗字体部分要成立的前提应该是S+T是向量空间。如果离开这个前提,如何使“ S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量”\(\in\)“S+T”?例如依据什么定理或性质使这一句成立呢?这部分我没有很好的理解。还请老师点拨一下。
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发表于 2021-9-14 17:47 | 显示全部楼层
    集合 S+T 的定义为 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 。这个定义告诉我们两点:

(1)凡是在集合 S+T 中的向量,都是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的。

(2)凡是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,都在集合 S+T 中。

   所以,如果已知 u∈S+T ,就可以推知必有 u=s+t ,其中 s∈S ,t∈T 。

   反之,如果已知 u=s+t ,其中 s∈S ,t∈T ,就可以推知必有 u∈S+T 。

   我在上面第 3 楼中的推导,就是这样做的。

   可以看到,这样的推导,纯粹是从集合 S+T 的定义出发的,与 S,T 是不是向量空间

没有任何关系,即使 S,T 不是向量空间,只要按照上面这样定义集合 S+T ,这样的推理

同样是成立的。
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 楼主| 发表于 2021-9-14 22:31 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2021-9-14 17:47
集合 S+T 的定义为 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 。这个定义告诉我们两点:

(1)凡是在集合 S+T 中的向量 ...

谢谢lu老师的讲解。
“ 可以看到,这样的推导,纯粹是从集合 S+T 的定义出发的,与 S,T 是不是向量空间

没有任何关系,即使 S,T 不是向量空间,只要按照上面这样定义集合 S+T ,这样的推理

同样是成立的”

请问这些是属于高中“集合”部分的知识?还是大学集合论课程的内容?我想针对性去看看书。
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发表于 2021-9-14 23:13 | 显示全部楼层
按照 S+T 的定义,如果已知 u=s+t ,其中 s∈S ,t∈T ,就可以推知必有 u∈S+T 。

现在已知 u=(s1+s2)+(t1+t2) ,其中 s1+s2∈S ,t1+t2∈T ,所以必有 u∈S+T 。

点评

谢谢lu老师,我明白了。  发表于 2021-9-15 01:29
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