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题 S,T 是向量空间 V 的子空间,证明:在 S+T={s+t|s∈S,t∈T} 中,向量加法与数乘封闭。
证 (1)设 u,v 是 S+T 中的两个向量。
因为 S+T 中的向量都是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的,所以必有
u=s1+t1 ,v=s2+t2 ,其中 s1,s2∈S ,t1,t2∈T 。
因为 S,T 都是向量空间,加法运算封闭,所以必有 s1+s2∈S ,t1+t2∈T 。
这时 u+v=(s1+t1)+(s2+t2)=(s1+s2)+(t1+t2) ,其中 s1+s2∈S ,t1+t2∈T 。
u+v 是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,所以必有 u+v∈S+T 。
可见,在 S+T 中,向量的加法运算封闭。
(2)设 u 是 S+T 中的一个向量。
因为 S+T 中的向量都是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的,所以必有
u=s1+t1 ,其中 s1∈S ,t1∈T 。
因为 S,T 都是向量空间,数乘运算封闭,所以对于数字 c 必有 cs1∈S ,ct1∈T 。
这时 cu=c(s1+t1)=cs1+ct1 ,其中 cs1∈S ,ct1∈T 。
cu 是由一个 S 中的向量加一个 T 中的向量组成的向量,所以必有 cu∈S+T 。
可见,在 S+T 中,向量的数乘运算封闭。 |
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