使得 n+3 能够整除 1^3+2^3+…+n^3 的最大正整数 n 是什么？

uk702

如同#4，令 n+a=t，这时\( 1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{(t-a)^2(t-a+1)^2}{4}，\)
\( 于是 n+a 整除 \ 1^3+2^3+...+n^3 \ 意味着\ \frac{(t-a)^2(t-a+1)^2}{4t} 是一个整数，\)
\( 因此\ t \ |\ (t-a)^2(t-a+1)^2，所以必有\ t \ |\ a^2(a-1)^2。\)


\( 1）若 (4,t)=1，则由于\ 4\ | \ (t-a)^2(t-a+1)^2，\)
\( 因此，\ 4t | \ (t-a)^2(t-a+1)^2 \ 当且仅当 \ t \ | \ (t-a)^2(t-a+1)^2，\)
\( 当且仅当\ t \ |\ a^2(a-1)^2，这时\ t\ 将取\ a^2(a-1)^2\ 的最大奇因子。\)


\( 2）若 (4,t)=2 或 4，令\ t=2u，代入\ \frac{(t-a)^2(t-a+1)^2}{4t} 并化简，\)
\( 知 \ \frac{(t-a)^2(t-a+1)^2}{4t}  为整数 当且仅当 \frac{a^2(a-1)^2}{8u}+\frac{u}{2} \ 是整数 \)

\( 情况一：\ a是4k型，由于 u=\frac{a^2(a-1)^2}{8} 总是偶数，\)
\( 故  u=\frac{a^2(a-1)^2}{8} , n=\frac{a^2(a-1)^2}{4}-a 是所求。\)

\( 情况二：\ a是4k+1型，同上。\)

\( 情况三：\ a是4k+2型，这时\ u\ 将为奇数且\ u\ |\ a^2(a-1)^2 ，故\ n \ 将是 \ a^2(a-1)^2 的最大奇因子的 2 倍减 a。\)
\( 这时  \ a^2(a-1)^2 的最大奇因子是  \  \frac{a^2(a-1)^2}{4} 。 \)

\( 情况四：\ a是4k+3型，同\ 4k+2\ 型。\)
\( 同样，这时  \ a^2(a-1)^2 的最大奇因子是  \  \frac{a^2(a-1)^2}{4} 。 \)

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-14 16:21
\(使得\ n+a\ 能够整除\ 1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)

\(a=03, S(03)=03^2*1 ...

做题目就得连片做，收获才大。

\(1,使得\ n+a\ 能够整除\ 1+2+3+4+5+6+…+n\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)
\(a=3, S(3)=3*1\)
\(a=4, S(4)=4*2\)
\(a=5, S(5)=5*3\)
\(a=6, S(6)=6*4\)
\(a=7, S(7)=7*5\)
\(a=8, S(8)=8*6\)
\(a=9, S(9)=9*7\)

\(2,使得\ n+a\ 能够整除\ 1^2+2^2+3^2+4^2+…+n^2\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)
\(a=2, S(2)=2^2*1\)
\(a=3, S(3)=3^2*3\)
\(a=4, S(4)=4^2*5\)
\(a=5, S(5)=5^2*7\)
\(a=6, S(6)=6^2*9\)
\(a=7, S(7)=7^2*11\)
\(a=8, S(8)=8^2*13\)
\(a=9, S(9)=9^2*15\)

\(3,使得\ n+a\ 能够整除\ 1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)
\(a=3, S(3)=3^2*1^2*2-3\)
\(a=4, S(4)=3^2*2^2-4\)
\(a=5, S(5)=5^2*2^2-5\)
\(a=6, S(6)=5^2*3^2*2-6\)
\(a=7, S(7)=7^2*3^2*2-7\)
\(a=8, S(8)=7^2*4^2-8\)
\(a=9, S(9)=9^2*4^2-9\)

\(4,使得\ n+a\ 能够整除\ 1^4+2^4+3^4+4^4+…+n^4\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)

亲爱的网友们！第4道题，你敢动手吗？！

王守恩

lihp2020 发表于 2021-9-14 18:49
直接强怼一个通项
s(n) = (n-sin(nπ))^2*((n+sin(nπ))/2)^2*(1+sin(nπ+π)) -n

谢谢lihp2020!  通项还是丑，大家一起来调整吧！

\(S(n)=\frac{(n(n-1))^2/2}{1+\big[\left\{(2n+5)/8\right\}\big]}-n\)

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{15, 32, 95, 444, 875, 776, 1287, 4040, 6039, 4344, 6071, 16548, 22035, 14384, 18479,
46800, 58463, 36080, 44079, 106700, 127995, 76152, 89975, 211224, 246375, 142856,
164807, 378420, 432419, 245984, 278751, 629408, 708015, 396864, 443519, 988380,..}

OToday

我有一个思路：
根据a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，
把3，n；4，n-1；5，n-2……分别配对。

令S(n)=1^3+2^3+…+n^3，
S(1)=1，1+3=4，不符合。
S(2)=9，2+3=5，不符合。
n≥3时，
2S(n)=18+(3^3+n^3)+...+(n^3+3^3)，
则n+3能整除18，n+3=6，9，18。
n=3，6，15。
再逐一验证即可。

王守恩

OToday 发表于 2021-9-16 12:23
我有一个思路：
根据a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，
把3，n；4，n-1；5，n-2……分别配对。

谢谢 OToday!  同理可得：

\(5,使得\ n+a\ 能够整除\ 1^5+2^5+3^5+4^5+…+n^5\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)

\(S(n)=\frac{n^2(n-1)^2(2n(n-1)-1)}{6+6\big[\left\{(2n+5)/8\right\}\big]}-n\)

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{63, 272, 1295, 8844, 24395, 29000, 61767, 241640, 441639, 381864, 630695, 2003988,
3079635, 2299184,3347759,9535248,13314383,9133280,12333279,32834780,43142043,
28007352, 35969975, 91471224, 115233975, 71965880, 89176247,219374820, ...............}

王守恩

OToday 发表于 2021-9-16 12:23
我有一个思路：
根据a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，
把3，n；4，n-1；5，n-2……分别配对。

谢谢 OToday!  把奇数(2k+1)规律一并解决了。

\(使得\ n+a\ 能够整除\ 1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}+…+n^{2k+1}\ 的最大正整数\ n\ 是什么？\)

\(\displaystyle S(n)=\big(1+\big[\left\{(2n+1)/8\right\}\big]\big)\sum_{j=1}^{\ n-1}\ j^{2k+1}-n\)       n=3, 4, 5, ...    k=1, 2, 3, 4, ...     

\(\big[\ \ \big]\) 表示四舍五入，\(\left\{\ \ \right\}\)表示取小数部分

{15, 32, 95, 444, 875,776,1287,4040,6039, 4344, 6071,16548,22035,14384,18479,46800,58463,...
{63, 272,1295,8844, 24395,29000, 61767,241640, 441639,381864, 630695,  2003988, 3079635,...
{255,  2312,  18695,  193644,  753515,  1200296,  3297447,  16160840,  36160839,  37567584,...  
{1023, 20192, 282335, 4470924, 24626315,  52666760, 186884487, 1148609960, 3148609959,...
{4095, 179192, 4373495, 106403244,  831997355,  2393325416, 10983260007,  84728639240,...
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