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使得 n+3 能够整除 1^3+2^3+…+n^3 的最大正整数 n 是什么?

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发表于 2021-9-12 23:19 | 显示全部楼层 |阅读模式


我用长除法去做,但发现算来算去都不对,想学习方法

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发表于 2021-9-13 09:54 | 显示全部楼层
最大 就是3吧    遍历前面10来项  只有唯一的3满足   再怎么当N>10的时候 一定不存在
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发表于 2021-9-13 17:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2021-9-13 20:42 编辑

结果有误。n值应是15.
———————————————-
可以证明最大的n值为6.
在方法上,首先要看到立方和的求和公式;其次用基本的质因数分解的思路,仔细的过滤2层左右的数据,就可以筛出,最大的n值为6.
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发表于 2021-9-13 18:23 | 显示全部楼层
n最大33
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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发表于 2021-9-13 19:20 | 显示全部楼层
楼上 drc2000再来 的解答已收藏。
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发表于 2021-9-13 19:39 | 显示全部楼层
第四楼的解法,错误很明显啊。
1、过程上看,分母那个4没有考虑。
2、从结果上看,把33代入计算下就知道是错的啊!

点评

有无可能 36/4t=a.25,37t/4=b.75,两者相加正好加出个整数来?  发表于 2021-9-14 08:25
赞 感觉 但是4楼思路是对得差了一步 如果要被整除 那么t一定是36的因子 分别计算 36 18 12 9 6 4 3 2 1 最后 18 好像满足 。。  发表于 2021-9-13 20:13
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发表于 2021-9-13 20:51 | 显示全部楼层
cgl_74 发表于 2021-9-13 19:39
第四楼的解法,错误很明显啊。
1、过程上看,分母那个4没有考虑。
2、从结果上看,把33代入计算下就知道 ...

lihp2020说得是对的。
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发表于 2021-9-14 11:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-9-14 11:17 编辑

据 #4,若 n+3 整除 \(1^3+2^3+...+n^3\),则 \( 4t | (t^2-5t+6)^2 \),下面考虑三种情况:
1)若 (4, t) = 1,由于 4 | (t^2-5t+6)^2 ,故 \( 4t | (t^2-5t+6)^2 \)  <==> t  |  \(  (t^2-5t+6)^2 \)  <==> t  |  36,但由于有  (4, t) = 1,故此时  t 最大为 9, n=t-3=6。
2) 若 (4, t) = 2 或 4 ,不妨设 t=2a,于是右式=\(\frac{4*a^4 - 20*a^3 + 37*a^2 - 30*a + 9 }{2a} \) = 整数 + \(\frac{37a^2+9}{2a}\) = 整数 +  \(\frac{37a}{2}+\frac{9}{2a}\)  <==> a 为奇数且 a | 9,此时 a 最大为 9, t=18, n =t-3=15
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发表于 2021-9-14 16:21 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2021-9-14 11:07
据 #4,若 n+3 整除 \(1^3+2^3+...+n^3\),则 \( 4t | (t^2-5t+6)^2 \),下面考虑三种情况:
1)若 (4, t) ...

\(使得\ n+a\ 能够整除\ 1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\ 的最大正整数\ n\ 是什么?\)

\(a=03, S(03)=03^2*1^2*2-3\)
\(a=04, S(04)=03^2*2^2-4\)
\(a=05, S(05)=05^2*2^2-5\)
\(a=06, S(06)=05^2*3^2*2-6\)
\(a=07, S(07)=07^2*3^2*2-7\)
\(a=08, S(08)=07^2*4^2-8\)
\(a=09, S(09)=09^2*4^2-9\)
\(a=10, S(10)=09^2*5^2*2-10\)
\(a=11, S(11)=11^2*5^2*2-11\)
\(a=12, S(12)=11^2*6^2-12\)
\(a=13, S(13)=13^2*6^2-13\)
\(a=14, S(14)=13^2*7^2*2-14\)
\(a=15, S(15)=15^2*7^2*2-15\)
\(a=16, S(16)=15^2*8^2-16\)
\(a=17, S(17)=17^2*8^2-17\)
\(a=18, S(18)=17^2*9^2*2-18\)
\(a=19, S(19)=19^2*9^2*2-19\)
.........
这数字串可是在OEIS没有的,挑战一下:搞个通项公式?
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发表于 2021-9-14 18:49 | 显示全部楼层
直接强怼一个通项
s(n) = (n-sin(nπ))^2*((n+sin(nπ))/2)^2*(1+sin(nπ+π)) -n

其中  只需要 不断调整红色的值

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 不错的想法!

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