正方形内接四边形面积问题

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正方形内接四边形面积问题

作者 | 靳晓黎

近日在数学群看到一道题，估计是初中竞赛题。原题如下：



看到这道题，感觉有点面熟，很像小学的一道求面积题。

在解这道题之前，先看下面一道题：

如图所示，边长为12厘米的正方形中有一块阴影部分，阴影部分的面积是多少平方厘米？



分析：和第一道题的不同点，①正方形的边长；②边上线段长度和对角线长度。对于小学求阴影面积的题，常用方法是利用割补法，面积模型。



做两条辅助线，构造长方形，原阴影图形的4条边均是所分割的长方形的对角线，阴影部分和空白部分各占一半，最后剩余灰色部分(属于原阴影图形)。



有没有发现那个10cm是个多余条件？

按照这道小学题的思路，如果能求出同位置的线段长度，那么这道题就迎刃而解了。先将图形分割，然后在同位置设未知数a和b，并列方程尝试求解。






本解法用了较多的代数技巧，如平方差公式：



使用GGB软件观察下在限定条件下四边形QRST的面积情况，发现其面积为定值(＝5).





观察动画过程发现:

1.由于线段,所以当R向左时，T也向左；当R向右时，T也向右，线段在平移；

2.由于平移，对角线RT和QS的夹角保持不变(受限于软件精度，其数值可能不够精确)。

写到这里，联想到不规则四边形的面积计算公式：





最后感谢橘子老君(mathcrowd.cn)、杨凡和其他群友参与本题的讨论和分析。

王守恩

\(1，只需解一次方程。设正方形面积=x \)
   \(\sqrt{(3^2-x)(4^2-x)}+x=5*2\)
\(2，可以把小长方形推到边上去，会简单些。\)
\(3，不规则四边形面积计算公式。\)
  \(过C作BD的平行线，交AB延长线于E\)
  \(则\ S_{ABCD}=S_{ACE}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-8 08:39
\(1，只需解一次方程。设正方形面积=x \)
   \(\sqrt{(3^2-x)(4^2-x)}+x=5*2\)
\(2，可以把小长方形推到 ...

这题目还真有点意思。
把点Q从左边移到右边，把点S从右边移到左边，其余不动。
目的是让QRST的面积缩小。还不是一道题了吗？