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生活在三维空间,如何思考九维空间的事?|量子群英传

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发表于 2021-9-1 17:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
生活在三维空间,如何思考九维空间的事?|量子群英传

撰文 | 张天蓉

责编 | 宁茜 吕浩然

有人认为,弦论“最邪乎”的一点就是多维空间。我们身处的空间明明是3维的,干嘛要多此一举,加上这么多的额外维度?然后,为了说明这些看不见、摸不着的维度,又“编”出一套什么“紧致化”“卷曲化”之类的说辞,来解释它们。

上面的说法当然是外行人强加给弦论学家的,这是因为外行人不了解弦论发展过程中的许多细节。所以,现在我们就来介绍一下弦论“额外维度”这个想法的来龙去脉。

01  弦论的时间空间

如果不算时间,最早的玻色弦论(Bosonic string theory)的空间是25维、超弦论(Superstring Theory)是9维、M理论(M theory)是10维。这些数字其实是有来由的。为何刚好选中了25、9、10这几个数值呢?那是因为,只有当空间是这些维数时,我们才能得到自洽的理论,否则便会出现一些奇怪的“反常”结果。诸如概率大于1、负概率、光子质量不为零等等。

一个物理理论,决定了空间的维度数目,这的确是前所未有的。弦论之前的理论物理,无论是经典、量子或相对论,对空间的维度都没有任何限制。这些理论固然毫无疑问地默认“三维空间”,但就理论本身而言,搬到多少维的空间中也是照样成立的。

说奇怪也不奇怪,基础物理学的目的是为了解释世界,回答一个又一个的“为什么”。这种解释是一层一层逐步展开的:经典物理解释的是人人都可见的宏观现象;量子物理解释一般人不了解,但实验室能观测到的微观世界;狭义相对论解释高速运动;广义相对论则解释大尺度的宇观世界。

到了弦论这一层次,除了统一引力和量子的目的之外,物理学家们也希望理论能解释一些更为基本的事实。例如:质量的来源,电荷的来源等等。其中也包括“时间是什么?”“空间是什么?”这些古老的疑问,以及“空间为什么是三维的?”“时间为什么是一维的?”,这种前辈物理学家们可能想都没想过的问题。

02  限制维度以使光子质量为零

根据弦论模型,弦的不同振动产生不同的粒子。例如:以A方式振动产生夸克,以B方式振动产生中微子……弦的振动产生了现有理论中的“基本粒子”,基本粒子又构成了世界万物。


图1:弦不同振动构成万物

特别要指出的是,弦论认为:引力子由闭弦的运动产生,光子则由开弦的振动产生。这两种粒子的静止质量都为零,而弦论中空间的维度数目,便可以由“光子静止质量为零”这一点导出。

也就是说,光子质量为0,在弦论之前的物理中是一个既定事实,而在弦论中是理论推导的结论。

光子的静止质量,即最小质量,由光子可能有的振动模式决定:

光子静止质量 = 光子弦基态能 + 光子弦振动能。


图2:谐振子的基态能和振动能

基态能是最低的能量态,是一种“量子涨落”,与“振动能”不是一码事。

图2给出的是谐振子的基态能和振动能示意图。如果从经典物理的观点,基态能量应该为0,Ec=0,谐振子静止在碗中心的最低处,见图2a。然而,如果考虑量子规律,遵循不确定性原理,每个基态的能量都不可能为0,对所有可能的振动模式求和后便是基于“量子涨落”的基态能,谐振子不可能完全静止,见图2b:Eq=S(hω/2)。而振动能表征的是某种激发态(En= hωn),如图2c。


图3:D维空间中光子弦的振动

现在我们考虑对应于光子开弦的能量。与图2所示谐振子情况类似,只是光子是D维空间的一条开弦,它的振动情况显示在图3a中。



因此,我们这儿插一段数学:研究一下S=1+2+3+…,即所有自然数之和。

其实,我们在中学时就知道了,这个级数不收敛,趋于无穷,有啥可研究的呢?不过,对于这个问题,数学家们绞尽了脑汁。而我们只需要理解一下结果就好了,何乐而不为呢?先讲一个故事。

03  拉马努金的故事

拉马努金(Ramanujan,1887-1920)是一位印度数学家。听听数学家们对他的评价:出身普通,自学成才,未经训练,知识不多,依赖直觉,成果空前。

拉马努金只迷恋数学,在其他科目的考试中经常不及格。也没有正规的数学老师,直到被英国著名数学家戈弗雷·哈代(Godfrey Hardy,1877-1947)发掘。用哈代的话来说,拉马努金“对现代欧洲数学家的成果完全无知”“就是个接受了一半教育的印度人。”

1913年的拉马努金,穷困潦倒、疾病缠身,却做了很多数学研究。他致信剑桥大学的哈代,提及了一大堆他所发现的数学公式。哈代带着困惑检验了这个印度小职员的研究成果,发现了好几个令他吃惊的玩意儿。他向拉马努金发出了一封到剑桥大学的邀请函。于是,拉马努金离开妻子到剑桥待了近6年。之后因病返回印度,但不久便去世了,只活了32岁。

拉马努金惯以直觉导出公式,不爱作证明。据说他短短的生命中给出了3000多个公式,平均每年100个。他的理论往往被证明是对的。其所猜测的公式还启发了几位菲尔兹奖获得者的工作。

在拉马努金致哈代的信中,就包括了自然数求和的问题。看看他的惊人答案:从1到无穷大的自然数之和,等于(-1/12)。

下面是拉马努金有关这个级数的笔记:


图4:拉马努金手稿

拉马努金对自然数无穷级数的求和给出了两种方法,一种极为不严格,一种极为严格。上面笔记中草草写下了不严格的理解方式。

哈代读信后的反应是“此人不是疯子便是天才!”。但哈代对这个自然数求和的结论并不感觉惊讶和奇怪,因为早在18世纪的瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)对此种发散级数就有所研究,后来的黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)也已经用他的ζ函数,对这个自然数求和得到了同样的、更为严格的结果。

04  计算自然数之和

拉马努金对(-1/12),有一个不严谨也不靠谱的“证明”方法,就是他写到上面笔记中的方法。如今网上流传的与其大同小异。

01  最简单的“理解”方法



拉马努金上面的“证明”是不可取的,因为那种“错位加减”不能用于发散级数,不同的错位加减,会导致不同的结果。但拉马努金很聪明,给出简单理解的同时也给出了严格的证明,那是与不同的求和定义有关。

02  “和”的不同定义

什么意思呢?求和不就是相加吗?

是的。但我们通常理解为正确的传统求和定义,被称为柯西(Cauchy)的“求和”。这个定义严格而又符合常理,只是不能处理发散的无穷级数。数学家们就想:是否可以靠改变求和的定义来给无穷级数一个有意义的数值?为此数学家们定义了塞萨罗(Cesaro)求和、阿贝尔(Abel)求和、拉马努金求和等。其中最简单的Cesaro求和,是用取“和的平均值”的方法。例如下面级数:

1-1+1-1+1-1+1+……

这个级数是不收敛的,因为结果不趋于一个固定数,而是以相等的概率于 0、1 两个数之间摇摆。根据Cesaro求和,可以把结果定义为 1/2,尽管不是通常意义下的(柯西和),但却也容易直观理解,因为 1/2 是 1 和 0 的平均值。

如果和的平均值也仍然不收敛的话,有些人就用“和的平均值”的平均值来定义,还可以进一步以此类推下去;或者用别的方法来定义“和”。据说拉马努金就提出了一个求和方法,非常复杂难懂。我们就跳过去不介绍了。

03  解析延拓方法

还有另外一种方法处理发散的无穷级数:解析延拓。意思就是说将函数的定义域连续光滑地扩大到原来不能应用的数域。

如何用解析延拓来解决自然数求和问题?还得从欧拉的研究说起。



04  洛朗级数展开

上面的方法,包括重新定义“求和”及解析延拓,实际上计算出来的结果,都可以说已经不是原来意义上的“自然数之和”了。不得不承认,这个(-1/12)的确与自然数之和有关系。但是,较劲的人仍然心存疑惑:原来的无穷大躲到哪里去了呢?

因此,我们介绍另一种洛朗级数展开的方法。



05  回到维度计算

回到利用光子最小质量为0来计算维度的问题。



所以你看,各种弦论的空间维度,也不是凭空想象的,还是有理论依据!

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