数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: denglongshan

简单的构造,有问题的复杂结论

[复制链接]
发表于 2021-9-6 20:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-9-6 20:28 编辑

下图中,ARCP 是圆内接四边形。用纯几何方法证明:



本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-9-6 21:10 | 显示全部楼层


本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

几何法也可不作辅助线。由 △BPC∽△BRA 和 △QPC∽△QRA 可证。三角法证明很简洁!  发表于 2021-9-7 18:39
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-9-6 21:29 | 显示全部楼层
上楼秒杀不错,如果把16楼的结论改为\(\frac{\overrightarrow{OD}}{\overrightarrow{DE}}+\frac{\overrightarrow{OE}}{\overrightarrow{EB}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\overrightarrow{FC}}=1\)应该可以用有向面积秒杀。
从这一结论可以推断,如果点O在三角形外,其中至少一项必然大于1.
主贴与梅涅劳斯定理构图相同,16题图与Ceba定理构图相同,梅涅劳斯定理可用于证明Ceba定理,能否应用主贴发现图中有关线段的结论?

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-9-8 17:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-9-8 17:44 编辑

\(谢谢数学研发论坛\ mathe\ 给了解答,我来重复(1楼的图)。\)
\(1,求证:\frac{BA*AP}{QA*AC}+\frac{PQ*QR}{CQ*QA}-\frac{RC*CB}{AC*CQ}=1\ \ \ \ \ (1)\)
\(过P作BR的平行线,交AC于S。注:对应位置上的线段交换(或不换)\)
\(\frac{BA*AP}{QA*AC}=\frac{PA*AP}{QA*AS}=\frac{PA^2}{QA*AS}\)
\(\frac{PQ*QR}{CQ*QA}=\frac{PQ*QP}{SQ*QA}=\frac{PQ^2}{SQ*QA}\)
\(\frac{RC*CB}{AC*CQ}=\frac{PS*SP}{AS*SQ}=\frac{PS^2}{AS*SQ}\)
\((1)=\frac{PA^2}{QA*AS}+\frac{PQ^2}{SQ*QA}-\frac{PS^2}{AS*SQ}=1,即斯图尔特定理\)
\(2,求证:\frac{BR*RC}{QR*RP}+\frac{CQ*QA}{PQ*QR}-\frac{AP*PB}{RP*PQ}=1\ \ \ \ \ (2)\)
\(过C作AB的平行线,交RP于S。注:对应位置上的线段交换(或不换)\)
\(\frac{BR*RC}{QR*RP}=\frac{CR*RC}{QR*RS}=\frac{CR^2}{QR*RS}\)
\(\frac{CQ*QA}{PQ*QR}=\frac{CQ*QC}{SQ*QR}=\frac{CQ^2}{SQ*QR}\)
\(\frac{AP*PB}{RP*PQ}=\frac{CS*SC}{RS*SQ}=\frac{CS^2}{RS*SQ}\)
\((2)=\frac{CR^2}{QR*RS}+\frac{CQ^2}{SQ*QR}-\frac{CS^2}{RS*SQ}=1,即斯图尔特定理\)

点评

对,PR与AC的交点就是Q  发表于 2021-9-8 20:49
反复验证正确  发表于 2021-9-8 20:44
第二段证明都适用于下面的两张图,你可以用软件验证。  发表于 2021-9-8 20:34
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-9-8 20:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 denglongshan 于 2021-9-8 20:15 编辑

为了配合王老师的证明,方便阅读,重新发图。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

交点是Q,不是R  发表于 2021-9-8 20:40
上面那个图是个错家伙!  发表于 2021-9-8 20:32
上面那个图不要!  发表于 2021-9-8 20:25
今天我折腾出来了你要的向量商恒等式,无论直线截三角形的三边,或它们的延长线,都有一个统一的公式。见下页。  发表于 2021-9-8 20:15
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-9-8 20:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-9-8 20:29 编辑

楼主想要的向量商恒等式如下:




对于图 1,如果去掉各线段的向量符号,那么上式左边第三项前面要改成负号。现在以向量表示,那个负号就

成了正号,这样公式就更优美了。

对于图 2,如果去掉各线段的向量符号,那么上式不成立。而改成向量表示,上式就仍然成立!

因此这个恒等式就是楼主想要的统一的“向量商”表达式。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

认真看了,是应用到点乘,很好  发表于 2021-9-8 21:01
主贴如果是三组两对向量商的乘积之和等于1就非常理想了,也就是三个复数的和。  发表于 2021-9-8 20:36
非常感谢,但是向量的乘积表示什么?  发表于 2021-9-8 20:31
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-9-8 20:49 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2021-9-8 12:18
楼主想要的向量商恒等式如下:

这才是问题的本质,赞!!!!!!!!!!!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-9-8 20:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2021-9-8 21:18 编辑

按第一图证明如下:




按第二图证明如下:

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-9-8 21:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 denglongshan 于 2021-9-8 22:03 编辑

  1. Clear[a, c, b]
  2. b = 0; c = 1;
  3. (*假设
  4. \!\(\*OverscriptBox["AP", "\[RightVector]"]\)/
  5. \!\(\*OverscriptBox["BP", "\[RightVector]"]\)=u,
  6. \!\(\*OverscriptBox["BR", "\[RightVector]"]\)/
  7. \!\(\*OverscriptBox["CR", "\[RightVector]"]\)=v,
  8. \!\(\*OverscriptBox["CQ", "\[RightVector]"]\)/
  9. \!\(\*OverscriptBox["AQ", "\[RightVector]"]\)=-(1/(u v)),梅涅劳斯定理*)

  10. p = (a - b u)/(1 - u); r = (b - c v)/(1 - v); q = (c - a/u/v)/(
  11. 1 - 1/u/v);(**)

  12. Simplify[{(q - a)/(q - p), (q - c)/(q - r), (r - b)/(r - q), (r - c)/(
  13.   r - p), (p - a)/(p - q), (p - b)/(p - r)}]
  14. Simplify[{(q - a)/(q - p) (q - c)/(q - r), (r - b)/(r - q) (r - c)/(
  15.    r - p), (p - a)/(p - q) (p - b)/(
  16.    p - r), , (q - a)/(q - p) (q - c)/(q - r) + (r - b)/(r - q) (
  17.     r - c)/(r - p) + (p - a)/(p - q) (p - b)/(p - r)}]


  18. {-(((-1 + a) (-1 + u) v)/(
  19.   a (-1 + v) + (-1 + u) v)), ((-1 + a) (-1 + v))/(
  20. a (-1 + v) + (-1 + u) v), (v (-1 + u v))/(
  21. a (-1 + v) + (-1 + u) v), (-1 + u)/(a (-1 + v) + (-1 + u) v), (
  22. a (-1 + u v))/(a (-1 + v) + (-1 + u) v), (a (-1 + v))/(
  23. a (-1 + v) + (-1 + u) v)}

  24. {-(((-1 + a)^2 (-1 + u) (-1 +
  25.      v) v)/(a (-1 + v) + (-1 + u) v)^2), ((-1 + u) v (-1 +
  26.     u v))/(a (-1 + v) + (-1 + u) v)^2, (
  27. a^2 (-1 + v) (-1 + u v))/(a (-1 + v) + (-1 + u) v)^2, Null, 1}
复制代码


老朋友:
      你是对的,下一步找出这公式的几何意义很容易

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-9-14 22:05 | 显示全部楼层
主贴等价于
\(\frac{\overrightarrow{QA}\bullet\overrightarrow{QC}}{\overrightarrow{QP}\bullet\overrightarrow{QR}}+\frac{\overrightarrow{PA}\bullet\overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PQ}\bullet\overrightarrow{PR}}+\frac{\overrightarrow{RB}\bullet\overrightarrow{RC}}{\overrightarrow{RP}\bullet\overrightarrow{RQ}}=1\),这不算向量商。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2021-9-22 17:07 , Processed in 0.093750 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表