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证明 x=∑(n=0,∞)(3n)!3^(2n+1)/[(2n+1)!n!4^(2n+1)] 是方程 x^3-4x+3=0 的一个解

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发表于 2021-8-27 23:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
(1)求证:
\[x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!3^{2n+1}}{(2n+1)!n!4^{3n+1}}\]
满足方程 \(x^3-4x+3=0\).

(2)求级数表达式 \(x(\lambda)\),满足方程 \(x=e^{\lambda x}\),并证明。
发表于 2021-8-29 12:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 杨协成 于 2021-8-29 12:35 编辑

(1)通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS,发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}z^n=\frac{2}{\sqrt{3z}}\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{3\sqrt{3z}}{2}}\right)}\]
令 \(z=3^2/4^3\),可以凑出原级数:
\[\frac{3}{4}f\left(\frac{3^2}{4^3}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}\frac{3^{2n+1}}{4^{3n+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{9\sqrt{3}}{16}}\right)}\]
根据三倍角公式
\[\left.\begin{aligned}
\sin{(3\theta)}&=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta} \\
\sin{(3\theta)}&=\dfrac{9\sqrt{3}}{16}
\end{aligned}\right\}
\implies \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{4}\]
所以原级数为
\[x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}\frac{3^{2n+1}}{4^{3n+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\underbrace{\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{9\sqrt{3}}{16}}\right)}}_{=\sqrt{3}/4}=1\]
容易验证 \(x=1\) 满足方程 \(x^3-4x+3=0\)
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发表于 2021-8-29 13:36 | 显示全部楼层
杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
(1)通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS,发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

有意思,还能查询数据库,这么有用的
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发表于 2021-8-29 19:14 | 显示全部楼层

求满足方程 x=e^(λx) 的 x(λ) 的级数表达式(用到 Lambert W 函数)

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发表于 2021-8-29 19:15 | 显示全部楼层
第(2)题解答。
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发表于 2021-8-29 20:27 | 显示全部楼层
楼上 杨协成Future_maths 的解答很好!已收藏。
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 楼主| 发表于 2021-8-29 22:56 | 显示全部楼层
明白了,谢谢老师
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发表于 2021-9-3 08:53 | 显示全部楼层

用W函数来解答,是个好的思路。
但是看上去W函数的收敛域很窄。但是原方程的自变量范围和值域范围比较广。x的范围是(0,+∞); 浪波塔的范围是(-∞, 1/e)。所以不知道是否有全范围的级数表达式。
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发表于 2021-9-3 08:58 | 显示全部楼层
杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
(1)通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS,发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

查询数据库的思路很好!
无穷级数的求和很复杂,就算是能够用常规表达式表达出来的求和,通常过程也很繁琐。
所以有一个数据库,把所有已知的无穷级数求和公式,分类整理出来,就能极大降低实际使用上的复杂度。就跟以前计算时查对数表一样。
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发表于 2021-9-13 09:32 | 显示全部楼层
杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
(1)通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS,发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

指出其中的一个错误。
解那个3次方程,是有3个根的。而且恰巧这个方程的3个根都是实数根。所以sin(t)值有3个,而不是一个。所以我很好奇,杨同学是如何快速凑出这个解的呢?有什么诀窍吗?靠计算机?如果是真正解出来,很容易发现有3个实数解的。
正确的解法是,根本不用解那个方程,直接令x=(4/根号3)*t,然后代入目标等式,很容易证明目标等式成立。
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