证明 x=∑(n=0,∞)(3n)!3^(2n+1)／[(2n+1)!n!4^(2n+1)] 是方程 x^3-4x+3=0 的一个解

yichang

（1）求证：
\[x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!3^{2n+1}}{(2n+1)!n!4^{3n+1}}\]
满足方程 \(x^3-4x+3=0\).

（2）求级数表达式 \(x(\lambda)\)，满足方程 \(x=e^{\lambda x}\)，并证明。

杨协成

（1）通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS，发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}z^n=\frac{2}{\sqrt{3z}}\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{3\sqrt{3z}}{2}}\right)}\]
令 \(z=3^2/4^3\)，可以凑出原级数：
\[\frac{3}{4}f\left(\frac{3^2}{4^3}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}\frac{3^{2n+1}}{4^{3n+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{9\sqrt{3}}{16}}\right)}\]
根据三倍角公式
\[\left.\begin{aligned}
\sin{(3\theta)}&=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta} \\
\sin{(3\theta)}&=\dfrac{9\sqrt{3}}{16}
\end{aligned}\right\}
\implies \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{4}\]
所以原级数为
\[x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{(2n+1)!n!}\frac{3^{2n+1}}{4^{3n+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\underbrace{\sin{\left(\frac13\arcsin{\frac{9\sqrt{3}}{16}}\right)}}_{=\sqrt{3}/4}=1\]
容易验证 \(x=1\) 满足方程 \(x^3-4x+3=0\)

cgl_74

杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
（1）通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS，发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

有意思，还能查询数据库，这么有用的

Future_maths

Future_maths

第(2)题解答。

luyuanhong

楼上 杨协成 和 Future_maths 的解答很好！已收藏。

yichang

明白了，谢谢老师

cgl_74

Future_maths 发表于 2021-8-29 19:14

用W函数来解答，是个好的思路。
但是看上去W函数的收敛域很窄。但是原方程的自变量范围和值域范围比较广。x的范围是(0，+∞); 浪波塔的范围是(-∞, 1/e)。所以不知道是否有全范围的级数表达式。

cgl_74

杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
（1）通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS，发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

查询数据库的思路很好！
无穷级数的求和很复杂，就算是能够用常规表达式表达出来的求和，通常过程也很繁琐。
所以有一个数据库，把所有已知的无穷级数求和公式，分类整理出来，就能极大降低实际使用上的复杂度。就跟以前计算时查对数表一样。

cgl_74

杨协成 发表于 2021-8-29 12:33
（1）通过查询组合数学整数序列数据库 OEIS，发现序列 A001764 的生成函数为
\[f(z):=\sum_{n=0}^\infty\f ...

指出其中的一个错误。
解那个3次方程，是有3个根的。而且恰巧这个方程的3个根都是实数根。所以sin(t)值有3个，而不是一个。所以我很好奇，杨同学是如何快速凑出这个解的呢？有什么诀窍吗？靠计算机？如果是真正解出来，很容易发现有3个实数解的。
正确的解法是，根本不用解那个方程，直接令x=(4/根号3)*t，然后代入目标等式，很容易证明目标等式成立。