任给 1≥x,y＞0 ，证明：x^x+y^y≥x^y+y^x

KKKKK

从一本苏联习题集中找到的，这是国家队的一道题，不过那本出版的书并没有给出答案
\[\forall        1\geqslant x,y>0\]Pro:
\[x^x+y^y \geqslant x^y+y^x\]

drc2000再来

(X ,Y)与(X ,Y)是同序
x^x+y^y,同序
(X ,Y)与(Y,X)是逆序
x^y+y^x,逆序
同逆序定理:同序≥逆序
故:x^x+y^y≥x^y+y^x

drc

drc2000再来 发表于 2021-8-6 12:05
(X ,Y)与(X ,Y)是同序
x^x+y^y,同序
(X ,Y)与(Y,X)是逆序

你说的是。当然不能直接排序法。
不过在正整数的情况下，我们可把幂看成乘积，然后应用排序原理。
当然这里不是大于1的数，甚至不是自然数。
您是否可以先做个倒数变换，变成可用排序原理处理的问题。
（用类似柯西法解函数方程）。

以上说的好乱啊，你姑且将就听，或者干脆直接忽略。

KKKKK

这个帖子就要沉了

zytsang

不失一般性，设 \(x<y\)。定义函数
\[f(s)=x^s,\quad g(s)=y^s\]
根据柯西中值定理，存在一点 \(c\in[x,y]\)，使得
\[\begin{aligned}
&\frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \\
\implies&\frac{x^y-x^x}{y^y-y^x}=\frac{x^c\ln{x}}{y^c\ln{y}}<1 \\
\implies& x^y+y^x<y^y+x^x
\end{aligned}\]
当 \(x=y\) 时候，容易验证，原题等号成立。

证毕。

KKKKK

zytsang 发表于 2021-8-8 17:13
不失一般性，设 \(x

谢谢！倒数第二个不等式可否补充说明一下？因为它并不是显然的

Future_maths

x≤1, y≤1, 所以，lnx<0, lny<0, lnx<lny, 所以lnx/lny大于1.

Future_maths

5楼解答错误。

KKKKK

再顶下。

liangchuxu

使用反证法。