3—正则平面图的可3—边着色

雷明85639720

3—正则平面图的可3—边着色
雷  明
（二○二一年七月二十七日）

昨天我发表了《一个3—正则平面图的可3—边着色》一文，那只是对一个具体的图进行的着色。今天就再来对非具体的3—正则的平面图进行一般性的可3—着色的探讨。
可3—边着色的3—正则平面图有以下的特点：① 可3—边着色的3—正则平面图的任何颜色一条的边，都可以与其他的两种颜色的边构成边二色圈，且都一定是偶圈。② 任何一个边二色圈中的两种颜色可以互换，互换后仍是同种类型的边二色圈。③ 任何一条边都至少是处在两个不同的边二色圈上的。

在可3—边着色的3—正则平面图的任何一个面的两条边界上各增加一个顶点a和b，并且连成一条边a—b时，该面就被分割成了两个面，增加了顶点的两条边也各被分割成了两条边。如何在原边着色的基础上对变化了的图进行可3—边着色，就是这里将要探讨的内容。
1、当a、b两点位于同一个边二色圈上时（如图1，a），图中a、b两点位于同一个1、2两种颜色构成的边二色圈上，无论a、b在那个面的边上，也不论a、b所处的两条边相邻不相邻，以及a、b所在的边的颜色相同不相同，都可以把a—b边一侧（如左侧）的边二色圈中的颜色进行交换，仍是一个相同颜色的边二色圈（如图1，b），把第三种颜色给a—b边着上即可完成着色。虽然图1，c与图1，a很相似，但其中的a、b两点却有一个b不在由1、2两种颜色构成的边二色圈上，这是一种特殊的情形，要用特殊的方法来解决。

当把图1，a中a点的左侧一段边着成1色，把b点的上侧一段边着上3色时，图中那个直角三角形面的a—b边（斜边）可着2色（如图1，d），其他两边分别着1 色和2色即可完成着色。
2、当a、b两点位于不同的边二色圈上时，一定要把a、b两点转化成位于同一个边二色圈上，然后再按a、b两点位于同一个边二色圈上时的方法进行处理。转化的依据就是前面讲的可3—边着色的3—正则平面图的特点。

2、1  a、b两点所在的圈是相同颜色的边二色圈：
2、1、1  a、b两点所在的圈是相同颜色的边二色圈，且a、b两点又是处在相同颜色的边上时（如图2，a），这时a、b两点实际上又是处在同一个由1、3二色构成的边二色圈上（如图2，b）。交换a—b边任一侧（如上侧）的颜色1和3，并把a—b边着上2色即可（如图2，c）。
2、2、2  a、b两点所在的圈是相同颜色的边二色圈，且a、b两点却不处在相同颜色的边上时（如图3，a），交换其中一个边二色圈的颜色，a、b两点就处在相同颜色的边上了（如图3，b）。这时，a、b两点实际上又是处在另个一个由2、3两种颜色构成的边二色圈上（如图3，c）。交换a—b任边一侧（也如上侧）的颜色2和3，并把a—b边着上1色即可（如图3，d）。


2、2  a、b两点所在的圈是不同颜色的边二色圈（如图4，a）：

首先把a、b所在边中的一条边二色圈转化成另外一条边二色边（如图4，b），再对其中的一个边二色圈进行颜色交换（如图4，c），这时a、b两点实际上又是处在另一个由2、3两种颜色构成的边二色圈上（如图4，d）。再交换a—b边一侧（也如上侧）的颜色2和3，并把a—b边着上1色即可（如图4，e）。


以上的图4，a只是a、b两点所在的边是不同颜色的边的情况，当a、b两点所在的边是相同颜色的边的情况时（如图5，a），又将如何呢？从图5，a中可以看出，当把点b所处的边二色圈中的两种颜色交换后所得到的图（如图5，b）则与图4，a的图一模一样。再按图4，a的解决办法去解决就行了。

以上把各种情况都考虑到了的，没有遗漏，都可以对增加了一个面的可3—边着色的3—正则平面图进行可3—边着色的，这也就证明了任意的3—正由平面图都是可3—边着色的。这也可以说是对3—正则平面图的可3—边着色的一般着色方法。
至于任意的3—正则平面图为什么一定都是可3—边着色的，还可以从3—正则平面图的生成去分析。
首先给一个最基本的“三界点”，3—正则平面图的一个顶点只能连接三条边，分别着一种颜色，共三种颜色。然后每一个边又可分别生成两个新枝，与其原来的母枝又新生成了三个新的“三界点”，两个新枝可各用与其母枝不同的两种颜色。这个过程可以一直的进行下去。不同的两枝的两个单枝可以相汇，并合成一个新枝并新生成一个新的“三界点”，新枝用第三种颜色。就这样的不断的“分”与“合”，就可形成各种顶点数的，各种面数的，面又是各种边数的，连通的，无割边的3—正则平面图。每一个顶点都是3度的，各顶点也都连着三条三种颜色的边，整个图中是不会有第四种颜色的边出现的。这也就可以证明任何3—正则平面图都一定是可3—边着色的（如图6）。

还可以简单的这样证明如下：
由于3—正则的平面图中每个顶点都只连有3条边，所以该类型的图的边着色最大，也是最小的边色数也只能是3了。这也就证明了3—正则平面图的边着色色数只能是3。
可3—边着色的3—正则平面图中只可能有由1、2二色，1、3二色，2、3二色和1、2、3三色所围成四种面，这也可以从理论上来说明任何3—边着色的3—正则平面图的面着色色数只能是4的原因。
这也就证明了泰特猜想是正确的，也就证明了3—正则的平面图（即地图）的四色猜测也是正确的，也证明了任意平面图的四色猜测是正确的。

雷  明
二○二一年七月二十七日于长安

注：此文已于二○二一年七月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4423&show=0

朱明君

你的图证明不了四色猜想

雷明85639720

你是在张冠李戴。你懂得什么嘛！我明明是在研究四色问题，你却说我证明不了3X＋1猜想！我根本就没有研究过它！你看都不看，在这里胡说什么呢？

雷明85639720

1、你把贴子又改了！
2、请指出为什么证明不了！