【转载】倍数含量筛法与恒等式( a/b×b/a=1 ）的妙用

yangchuanju

倍数含量筛法与恒等式( a/b×b/a=1 ）的妙用

鲁思顺
临沂大学，山东 临沂
收稿日期：2017年6月23 日；录用日期：2017年7月7 日；发布日期：2017年7月13 日
摘 要
本文挖掘出倍数含量及等差项同数列的概念，根据倍数含量重叠规律及等差项同数列的性质，对自然数列中倍数出现规律作了深入的探讨。作为应用，我们证明了偶数哥德巴赫猜想与孪生素数猜想。
文章引用:鲁思顺.   倍数含量筛法与恒等式()的妙用[J].理论数学, 2017, 7(4): 288-296.
https://doi.org/10.12677/pm.2017.74038

关键词
倍数含量，重叠规律，覆盖定理，等差项同数列，两筛法

1.引言
1.1.偶数2n 表为两自然数和的式子共有n 种形式
2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)+...+(n+n)
记作2n=A+B 为有序对偶集合：
A={ai}={1,2,3,...,n}
B={bi}={2n-1,2n-2,2n-3,...,n}
如果把A (B) 中的加数是合数及1 的式子都筛除干净，若还有剩余的式子，说明偶数2n 能表示为两素数之和。
1.2.小于n 的相差为2 的数对共有n-2 种形式
2=3-1=4-2=5-3=…=n-(n-2)
记作：2=C-D
其中C(D)为有序对偶集合
C={ci}={3,4,5,6,…,n}
D={di}={1,2,3,4,…,n-2}
如果把C(D) 中的数是合数的都筛除干净，若能证明剩余的式子有无穷多，则说明存在无穷多相差为 2 的素数对。

yangchuanju

2.简单比例单筛
2.1.倍数含量
在连续的n 个自然数的集合A={a}中，自然数p的倍数个数有[n/p]或[n/p+1]  ( [ ]为去尾取整) 。
定义1：A={a}中数的个数与自然数p (p≥2)的比值 ，叫做自然数p的倍数含量.在A中非p的倍数含量为n - n/p=n(1-1/p)。
易知，p的倍数含量与n成正比例关系，p的倍数个数与p的倍数含量的正负误差的绝对值小于1。
2.2.倍数含量重叠规律
引理1[1]：在A={a}里p的倍数含量中，q的部分倍数含量，也就是p的倍数的含量中的pq的倍数含量，占有1/q (p,q≤√n ,(p,q)=1)。
证明：在A={a}里，合数pq的倍数含量为n/pq，而n/pq : n/p=1/q。证毕

注：明筛与暗筛
由引理1 知，明筛p的倍数含量，同时也按照1/q 比例暗筛去了q的部分倍数含量。
推论1[1]：筛除p的倍数含量后，在剩下的非p的倍数含量中，q的倍数含量有1/q
证明：n/q - n/pq＝(n - n/p)*1/q。证毕
由推论1 知，筛除p的倍数含量之后，欲筛除剩余部分中q的倍数含量，只需对剩余部分(n-n/p)再筛除1/q，即可。
推论2 [2]：在A={a}中的n 个数中，依次筛除pj(j=1,2,3,…k)的倍数含量后，在非pj的倍数含量中，pj+1的倍数含量占有1/pj+1，非pj+1的倍数含量占有( 1-1/pj+1)。【附注：j,j+1是p的下标，下同】
证明：用数学归纳法证明
(I) 当j=1 时
在A={a}中，根据倍数含量的定义，p1,p2,p1p2的倍数含量分别为n/p1,n/p2,n/p1p2。【附注：1,2是p的下标，下同】
根据引理1 及推论 1，易得
n/p2-n/p1*1/p2=n(1-1/p1)*1/p2
n(1-1/p1)-n(1-1/p1)*1/p2=n(1-1/p1)*(1-1/p2)
则命题成立。

(II) 假设当j=k-1时命题成立
即在n*∏(1-1/pj)中pk的倍数含量为:
1/pk*n*∏(1-1/pj)                         (1)
【附注：连乘号∏的下界j=1，上界是k-1】
非pk的倍数含量为：
(1-1/pk)*n*∏(1-1/pj)=n*∏(1-1/pj)        (2)
【附注：连乘号∏的下界j=1，第1个∏上界是k-1，第2个∏上界是k】
下边证明当j=(k-1)+1=k时，命题成立。
由p的任意性及假设可知：
pk,pk+1,pkpk+1在n*∏(1-1/pj)中的倍数含量分别是【附注：本连乘号∏的下界j=1，上界是k-1；k,k-1,j都是p的下标，下同】：
1/pk*n*∏(1-1/pj)
1/pk+1*n*∏(1-1/pj)                         (3)
1/pkpk+1*n*∏(1-1/pj)                       (4)
（3）-（4）
1/pk+1*n*∏(1-1/pj) - 1/pkpk+1*n*∏(1-1/pj)
=1/pk+1*n*∏(1-1/pj)* (1-1/pk) 【附注：本∏上界是k-1】
=1/pk+1*n*∏(1-1/pj) 【附注：本∏上界是k】  (5)
（2）-（5）
n*∏(1-1/pj) - 1/pk+1*n*∏(1-1/pj)
=n*∏(1-1/pj)* (1-1/pk) 【附注：本∏上界是k】
= n*∏(1-1/pj) 【附注：本∏上界是k+1】
综合(I) (II)，命题成立。

我们把推论2中，按照pk+1在pj(j=1,2,3,…,k)的倍数含量占有比例规律，依次递筛pk+1的倍数含量，求出非p j倍数含量的方法，叫做倍数含量简单比例单筛法。

例1：带有1 至210 编号210 名同学站在操场上，带操
老师第一次下口令，让编号是2 的倍数的同学坐下，
老师第二次下口令，让编号是3 的倍数的同学坐下，
老师第三次下口令，让编号是5 的倍数的同学坐下，
老师第四次下口令，让编号是7 的倍数的同学坐下，
问最后，还有几位同学站着？
解：因为210 是2 ，3，5，7 的公倍数，2 ，3，5，7 的倍数含量与倍数个数相等，用推论2 计算，得
210*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48

yangchuanju

3.加强比例单筛法
3.1.覆盖定理[2]
引理2(覆盖定理) ：设pi(i≥3)为小于√n的素数，即使间隔最小，即pi,pi-1为孪生素数时，仍有【附注：i,i-1是p的下标，下同】  
n/p(i-1)>[n/pi +1]
证明：因为p(i-1)≤pi-2 ( pi,p(i-1)为孪生素数时，等号取得)                           
n/p(i-1) – n/pi≥n/pi-2 – n/pi= 2n/[pi(pi-2)]>1 (pi-2<pi<√n)
所以n/p(i-1)>n/pi +1≥[n/pi +1]。证毕
【附注：为避免引起歧义，对作为下标的i-1酌情添加了一对小括号（），将含下标i-1的p表示成p(i-1）】

3.2.加强方法
在筛除2,3的倍数时，我们不妨用4/7和13/36代替原来的 2 ，3 的倍数(含量) 占有比例1/2,1/3,在筛除pi(i≥3)的倍数时，依据引理2(覆盖定理)按照比例1/pi-1筛除，这种筛除方法我们称之为倍数含量加强比例单筛法。
n*(1-4/7)*(1-13/36)*(1-1/3)*(1-1/5)*…*(1-1/pi-1),   (pi-1,pi≤√(2n)为最大素数)

yangchuanju

4.等差项同数列及其性质[2]
大偶数2n 表为两数和的式子共有n 种形式：
2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n
前项集合：A={ai}={1,2,3,…,n}，
后项集合：B={bi}={2n-1,2n-2,2n-3,…,n}，
要是把前项集合A，后项集合B中pi( 1≤i ≤k ，pk≤√(2n)的最大素数)倍数的式子都筛除干净，若还有剩余的式子，就说明大偶数能表为两素数和的式子。
问题是，筛去A中的一个素数的倍数(如3的倍数，是一个数列) ，要带走B中的一个数列，这两个数列，都是等差数列，项数相同。下面我们看它们之间有什么性质。

4.1.等差项同数列
定义2：如果两个正整数等差数列,项数相同，公差相等，则称这两个数列为等差项同数列。
定义3：设{ai}长度为n的，公差为d的等差数列，若(p,d)=1，则称n/p为p在数列{ak}中的倍数含量，1/p为其占有比例。
引理3：在长度为n的，公差为d的等差数列{ak}中，若自然数p满足(p,d)=1 ，则{ak}中p的倍数个数有[n/p]或[n/p+1]个。
【附注：{ai}下界k=1,上界n】
证明：只需证明当 n=p时{ak}中有且只有一个p的倍数。
设数列为a1,a1+d,…,a1+(p-1)d，则它们中任意两个元素对p的余数不相同，若不然设ai,aj(0 ≤i, j ≤ p-1) 关于p 同余，从而可得 p|(ai-aj) ， 即 p|(i-j)d，这是不可能的 。所以a1,a1+d,…,a1+(p-1)d关于p互不同余,从而其中有且只有一个p的倍数。证毕

4.2.等差项同数列的性质
引理4 (等差项同数列的性质) ：若两数列为等差项同数列，则自然数q (p,d)=1在两数列中的倍数含量相等。即q(p,d)=1 的倍数含量在两个数列中所占比例相等。
证明：由引理3 显然。
引理4 说明，明处是筛去A中的一个素数p的倍数(如3的倍数，是一个数列) ，带走B中的一个数 列，即带走了B中的q(p,d)=1 的部分(与筛去A中同样多少的)倍数含量。再进行下步筛去q (p,d)=1 的倍数含量时，只对剩余部分筛，就可以了。
主筛与从筛
在通过筛合数而筛式子的过程中，称筛除A(B)中素数p的倍数含量的过程为主筛，称带走的B(A)中的数的过程，叫做对B(A)的从筛。
由引理1，引理4可知，筛除A(B)中的素数p的倍数含量时，不仅按引理1 (重叠比例定理)暗筛A(B)中的q(p,d)=1 的部分倍数含量，而且又按照引理4 (等差项同数列的性质)从筛了B(A)中的q(p,d)=1 的部分倍数含量。

yangchuanju

5.两筛法
5.1.简单比例两筛法
大偶数2n 表两数和的式子共有n 种，
2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n
前项集合：A={ai}={1,2,3,…,n}，
后项集合：B={bi}={2n-1,2n-2,2n-3,…,n}，
两边(前项A ，后项B) 同时按引理1 的推论2 及定理4 ，筛除A ，B  中2,3,…,pk ( pk为小于等于√(2n)最大素数) 的倍数含量，两筛过程：其中2 的倍数成对出现，所以只要筛除A中2 的倍数就把B中2 的倍数带走了。这样筛2 的倍数含量时，只要一次按2 的倍数含量的比例1/2进行筛除即可(其余的是2n 倍数的，2 也都按照两次筛，作为加强了)得
n*(1-1/2)*(1-1/3-1/3)*(1-1/5-1/5)*(1-1/7-1/7)*…(1-1/pi-1/pi)
=n*1/2*1/3*3/5*5/7*…*(pi-2)/pi

5.2.加强比例两筛法:
依据引理1 的推论2, 引理2 ，引理4 ，两边(前项A ，后项B) 同时加强依次筛除A ，B中2,3,…,pk( pk为小于等于√(2n)最大素数) 的倍数含量，筛除2 ，3  的倍数时，用4/7和13/36代替原来的 2,3的倍数(含量)占有比例1/2,1/3，在筛除pi(i≥3)的倍数时，按照比例1/pi-1筛除，这种筛除方法我们称之为加强比例两筛法，简称两筛法。
易得n*(1-4/7)*(1-26/36)*(1-2/3)*(1-2/5)*(1-2/7)*…*(1-2/pi)  ( pk为小于等于√(2n)最大素数)
由此易得，第一个算式：
3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1  ( pk≤√(2n)最大素数)    （一）

5.3.  加强比例两筛法的另一应用：
小于n 的差为2 的数对，共有n-2 种形式：
2=3-1=4-2=5-3=6-4=…=n-(n-2)
前项集合：C={3,4,5,6,…,n}，
后项集合：D={1,2,3,4,…,n-2}，
两边(前项C，后项D) 同时加强筛除C，D中2,3,…,pk ( pk ≤ n 的最大素数) 的倍数含量，筛除2,3的倍数时，用4/7和13/36代替原来的2,3的倍数(含量)占有比例1/2,1/3，在筛除 pi(i≥3)的倍数时，按照比例1/pi-1筛除，则最后至少剩下
(n-2)*(1-4/7)*(1-26/36)*(1-2/3)*(1-2/5)*(1-2/7)*…*(1-2/pi)  ( pk≤√n最大素数)
≥(n-2)*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]( p ≤ √n的最大素数)个式子。
所以，小于n 的相差为2 的素数对
n*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] - 2*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]
= n*[3/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] - [6/7*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1]
(后边中括号中的每一项都小于1，则乘积小于1)
>3/7n*5/18**1/3*3/5*5/7*9/11*…*(pi-1-2)/pi-1] -1 ( pk≤√n最大素数)    （二）

yangchuanju

以上各贴皆根据lusisun的PDF和图片稿重新输入而得，笔者力求保持原稿的原貌，但因pdf格式或图片格式与doc格式不兼容，不得不改变了文字格式，但内容不做改变。
因重新输入的关系，也有可能错输个别文字和符号，请原文作者予以更正。
另外，WORD文档中的上下标在输入论坛的帖子中全部丢失，请读者予以辨认！例pk-1，pk+1中的k-1,k+1都是p的下标。

yangchuanju

6.恒等式a/b×b/a=1的妙用【附注：原稿段号是5，改作6】
恒等式a/b×b/a=1，看似简单，一个巧妙的应用，却解决了以上两个算式由有限到无限的问题。

算式(一) ：3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p(k-1)-2)/p(k-1)的值(其中pk-1<pk，pk<√(2n)的最大素数) ，在n>421时，其值永远大于2 。【附注：k-1是p的下标，并酌情对下标k-1改为(k-1)，下同】
证明：取b=q ，a=q-2 ，(q为合数) ，巧用a/b×b/a=1 ，
G=3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p(k-1)-2)/p(k-1)
=3/7*n*5/18*1/3*2/4*3/5*4/6*5/7*6/8*7/9*8/10*9/11*10/12*…
*(qm-1)/qm*(p(k-1)-2)/pk-1*4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*qm/(qm-2)
(其中qm=p(k-1)-1，是小于p(k-1)的最大合数) ，
=3/7*n*5/18*2*1/(p(k-1)-1)*1/p(k-1)*4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*qm/(qm-2)
∵p(k-1)-1<p(k-1)<pk<√(2n)，所以2n/[(p(k-1)-1)*p(k-1)]>1，用1代替2n/[(p(k-1)-1)*p(k-1)]，
从而G>3/7*5/18*4/2*6/4*8/6**9/7*10*8*12/10*…*qm/(qm-2)
经过计算易知，计算到22/20时，其值是2.1471949104 后边的每项都大于1。
所以取pk-1=23，为pk=29， 9^2=841。当2n>842，n>421时，其值永远大于2. 即n>421时，G >2，
问题得证。
即大偶数都能表为两素数之和。

yangchuanju

算式(二) ：L=3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p(k-1)-2)/p(k-1)
(其中p(k-1)<pk，pk<√n的最大素数) ，
求证：在n是无穷大时，L的值也一定是无穷大的.
证明：取b=q ，a=q-2 ，(q 为合数) ，巧用a/b×b/a=1 ，
L=3/7*n*5/18*1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p(k-1)-2)/p(k-1)
(其中p(k-1)<pk ，pk < √n 的最大素数)
=3/7*n*5/18*1/3*2/4*3/5*4/6*5/7*6/8*7/9*8/10*9/11*10/12*…
*(qm-1)/qm*(p(k-1)-2)/p(k-1)*4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*qm/(qm-2)
(其中qm 为小于p(k-1)的最大合数，即qm=pk-1-1)
=3/7*n*5/18*2*1/(p(k-1)-1)*1/p(k-1)*4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*qm/(qm-2)
因为p(k-1)-1<p(k-1)<pk<√n ，所以n/[(p(k-1)-1)*p(k-1)]>1，用1代替n/[(p(k-1)-1)*p(k-1)]，
∴L>3/7*10/18*4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*…*qm/(qm-2) (二)
又(二)中的q为偶合数时的，q/(q-2)式的连乘积
4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*(2i+2)/2i=i+1
所以，L>3/7*10/18*(i+1)*9/7*15/13*21/19*…（二）
在(二)式中3/7*10/18为有限数9/7，15/13,21/19……等又都大于1，pk是无穷大的，小于p(k-1)的最大偶合数也是无穷大的，那么i+1也是无穷大的。                                                              
所以其积4/2*6/4*8/6*9/7*10*8*12/10*…*，也一定是无穷大的，-1 也就真的可忽略不计了。
即：差为2 的素数对有无穷多。
类似的，易证，差为4 的素数对也有无穷多。

参考文献 (References)
[1] 鲁思顺.  加强含量筛法与哥德巴赫猜想探索[J].  延安教育学院学报, 2001(2): 48-50.
[2] 鲁思顺.  加强比例的一种应用[J].       山东大学学报(理科版), 2012(S1): 9-13.

yangchuanju

我是如何编译的：
首先下载wangyangke的pdf文档；
用记事本打开pdf文档，转换成txt格式；
再将txt格式转换成doc格式。
第二次转换后文档中的公式全部被打碎，且杂乱无章，但文字部分基本上顺序不变；
故WORD文档中的公式全由人工重新输入；编译时需时时对照pdf原文进行。
在将WORD文档转贴到论坛时，WORD文档中的上下标又全部丢失了，在论坛中无法表示上下标；并且出现许多乱符号，一经发现再用论坛的编辑功能删除或修改。

用白新岭曾经介绍的公式编译器可表示上下标，但如此多的上下标无法一个一个的编译！

lusishun

杨老师，非常辛苦地把《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，整理放在在里。欢迎网友讨论，质疑。
因哥猜而相识，因哥猜而联系。
认识有差异，属于正常，不必惊慌，通过讨论，我想能够统一思想